Question

Задание на фотографии

Answer 1

Исследовать на сходимость ряд    $\sum\limits_{n=2}^{\infty}\ \dfrac1{n\ln(2n)}$

$1)\ n\geq 2\ \ \ \Rightarrow\ \ \ 2n\geq 4\\\\~~\Rightarrow\ \ \ln (2n)\geq \ln 4>\ln e>\ln 1=0~~~\Rightarrow~~~\boldsymbol{\dfrac 1{n\ln (2n)}>0}$

Следовательно,   $\sum\limits_{n=2}^{\infty}\ \dfrac1{n\ln(2n)}$   положительный  числовой ряд.

2) Чтобы ряд сходился, необходимо  (но не достаточно), чтобы его общий член стремился к нулю :

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} a_n=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\ \dfrac 1{n\ln(2n)}=\dfrac 1{+\infty}=0$

3) Интегральный признак Коши :

 Если несобственный интеграл   $\displaystyle\int \limits_2^{+\infty}\dfrac {dx}{x\ln(2x)}$  сходится (в результате вычислений получится число), то будет сходиться числовой ряд   $\sum\limits_{n=2}^{\infty}\ \dfrac1{n\ln(2n)}$ .

 Если несобственный интеграл   $\displaystyle\int \limits_2^{+\infty}\dfrac {dx}{x\ln(2x)}$  расходится (в результате вычислений получится бесконечность), то будет расходиться числовой ряд   $\sum\limits_{n=2}^{\infty}\ \dfrac1{n\ln(2n)}$ .

4) Подынтегральная функция непрерывна на интервале [2;+∞).

$\displaystyle\int \limits_2^{+\infty}\dfrac {dx}{x\ln(2x)}=\int \limits_2^{+\infty}\dfrac {d\big(2x\big)}{2x\ln(2x)}=\int \limits_2^{+\infty}\dfrac {d\big(\ln (2x)\big)}{\ln(2x)}=\\\\\\=\lim\limits_{b\rightarrow +\infty}\Big(\ln\ln(2x)\Big)\ \Big|_2^{b}=\lim\limits_{b\rightarrow +\infty}\Big(\ln\ln(2\cdot b)^{\rightarrow +\infty}-\ln \ln 4\Big)=+\infty$

Ответ : ряд расходится