Предмет: Алгебра, автор: bertain

Задание на фотографии

Приложения:

bertain: Логарифм двух эн: ln(2n)

Ответы

Автор ответа: xERISx
1

Исследовать на сходимость ряд    \sum\limits_{n=2}^{\infty}\ \dfrac1{n\ln(2n)}

1)\ n\geq 2\ \ \ \Rightarrow\ \ \ 2n\geq 4\\\\~~\Rightarrow\ \ \ln (2n)\geq \ln 4>\ln e>\ln 1=0~~~\Rightarrow~~~\boldsymbol{\dfrac 1{n\ln (2n)}>0}

Следовательно,   \sum\limits_{n=2}^{\infty}\ \dfrac1{n\ln(2n)}   положительный  числовой ряд.

2) Чтобы ряд сходился, необходимо  (но не достаточно), чтобы его общий член стремился к нулю :

\lim\limits_{n\rightarrow\infty} a_n=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\  \dfrac 1{n\ln(2n)}=\dfrac 1{+\infty}=0

3) Интегральный признак Коши :

 Если несобственный интеграл   \displaystyle\int \limits_2^{+\infty}\dfrac {dx}{x\ln(2x)}  сходится (в результате вычислений получится число), то будет сходиться числовой ряд   \sum\limits_{n=2}^{\infty}\ \dfrac1{n\ln(2n)} .

 Если несобственный интеграл   \displaystyle\int \limits_2^{+\infty}\dfrac {dx}{x\ln(2x)}  расходится (в результате вычислений получится бесконечность), то будет расходиться числовой ряд   \sum\limits_{n=2}^{\infty}\ \dfrac1{n\ln(2n)} .

4) Подынтегральная функция непрерывна на интервале [2;+∞).

\displaystyle\int \limits_2^{+\infty}\dfrac {dx}{x\ln(2x)}=\int \limits_2^{+\infty}\dfrac {d\big(2x\big)}{2x\ln(2x)}=\int \limits_2^{+\infty}\dfrac {d\big(\ln (2x)\big)}{\ln(2x)}=\\\\\\=\lim\limits_{b\rightarrow +\infty}\Big(\ln\ln(2x)\Big)\ \Big|_2^{b}=\lim\limits_{b\rightarrow +\infty}\Big(\ln\ln(2\cdot b)^{\rightarrow +\infty}-\ln \ln 4\Big)=+\infty

Ответ : ряд расходится


bertain: Большое спасибо!
Похожие вопросы
Предмет: Математика, автор: мамулик3