Question

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

√(3x^2 +2ax+1)=х^2 +ax+1

имеет ровно три различных корня.

Подскажите, пожалуйста, решение. Если не трудно, максимально подробное. Заранее больше спасибо за помощь!

Answer 1

$\sqrt{3x^2+2ax+1}=x^{2}+ax+1 \Leftrightarrow \sqrt{2(x^{2}+ax)+x^{2}+1}=x^{2}+ax+1$; Для удобства сделаем замену: $x^{2}+ax=u,\; x^{2}+1=v$, тогда: $\sqrt{2u+v}=u+1$; Условие: $u+1\geq 0 \Leftrightarrow u\geq -1$ ; Возведем обе части в квадрат: $2u+v=u^{2}+2u+1\Leftrightarrow v=u^{2}+1$; Вернемся обратно к замене: $x^{2}+1=(x^{2}+ax)^{2}+1 \Leftrightarrow (-x^{2}+x-ax)(x^{2}+x+ax)=0$; Условие перепишется в виде $x^{2}+ax\geq -1$; Мы получили уравнение $x^{2}(-x+1-a)(x+1+a)=0$; Его корни: $x=0,\; x=1-a,\; x=-1-a$; Их всего три. Значит, раз мы хотим три корня, то все они должны подходить. Для этого:

• Они должны быть различными;
• Они должны удовлетворять условию.

Для различности достаточно, чтобы $a\neq \pm 1$;

Для условия (корень $x=0$ подходит): $\left \{ {{(1-a)^{2}+a(1-a)\geq -1} \atop {(1+a)^{2}-a(1+a)\geq -1 }} \right.$; Решая эту систему, получаем: $a\in[-2,\;2]$;

Запишем ответ: $a\in[-2,\;-1)\cup(-1,\;1)\cup(1,\;2]$