(58 балла) Знайти висоту трикутника АВС проведену до найбільшої
сторони та його площу, якщо A(1;-1;2), B(4;2;-1),С(1;5;2)
Ответы
Находим длины сторон:
AB = √((xB-xA)²+(yB-yA)²+(zB-zA)²) = 9 9 9 27 = 5,196152.
BC = √((xC-xB)²+(yC-yB)²+(zC-zB)²) = 9 9 9 27 = 5,196152.
AC = √((xC-xA)²+(yC-yA)²+(zC-zA)²) = 0 36 0 36 = 6
Определяем площадь треугольника по формуле Герона.
Периметр АВС Р = 16,39230485 p - a p - b p - c
Полупериметр р= 8,1962 3 2,196 3
S = √162 ≈ 12,728.
Теперь находим высоту по формуле:
h = 2S/AC = (2*12,728)/6 = 4,243.
Ответ:
ВН = 3√2 ед.
Sabc = 9√2 ед².
Объяснение:
Найдем стороны треугольника:
|AB| = √((Xb-Xa)²+(Yb-Ya)²+(Zb-Za)²) = √(3²+3²+3²) = 3√3 ед.
|BC| = √((Xc-Xb)²+(Yc-Yb)²+(Zc-Zb)²) = √(-3)²+3²+3²) = 3√3 ед.
|AC| = √((Xc-Xa)²+(Yc-Ya)²+(Zc-Za)²) = √(0²+6²+0²) = 6 ед.
Высота, проведенная к большей стороне, это высота ВН к стороне АС, то есть, к основанию.
Треугольник равнобедренный с основанием АС. Его высота, проведенная к основанию, является и медианой. Пусть основание этой высоты - точка Н. Тогда координаты точки Н найдем из формулы: Xh = (Xa+Xc)/2 = (1+1)/2 = 1.
Yh = (Ya+Yc)/2 = (-1+5)/2 = 2.
Zh = (Za+Zc)/2 = (2+2)/2 = 2.
Высота ВН равна |ВH| = √((Xh-Xb)²+(Yh-Yb)²+(Zh-Zb)²). Или
|BH| = √((-3)²+0²+3²) = √18 = 3√2 ед.
Площадь треугольника АВС равна
Sabc = (1/2)·AC·ВH = 9√2 ед².
Проверим: найдем высоту по Пифагору, зная боковую сторону и основание. ВН = √((3√3)² - 3²) = √18 = 3√2 ед.