Question

Знайти усі значення а при яких нерівність (a-6)x^2+(2a-12)x+7>0 виконується для всіх значень x.

Answer 1

Если $a=6$, то имеем неравенство $7>0$, верное при любых значениях $x$.

Если $a\neq 6$, то неравенство - квадратное. Оно выполняется при всех $x$ только в том случае, если $D< 0$.

$D=b^2-4ac=(2a-12)^2-4\cdot7(a-6)=4a^2-48a+144-28a+168=4a^2-76a+312<0$

$4a^2-76a+312<0|:4\\\\a^2-19a+78<0.\\\\\left \{ {{a_1+a_2=19} \atop {a_1a_2=78}} \right. \Rightarrow a_1=6, a_2=13\\\\(a-6)(a-13)<0\Rightarrow a\in (6; 13)$

Поскольку $a=6$ удовлетворяет условию, окончательный ОТВЕТ: $a\in [6; 13)$