Question

Задача.
Двенадцать человек несут 12 хлебов: каждый мужчина несёт по два хлеба, женщина — по половине хлеба, а ребёнок — по четверти хлеба. Сколько было мужчин, женщин и детей?
Л. Ф. Магницкий, «Арифметика», 1703 г.
Ответ.
Количество мужчин составляло: ?
, женщин: ?
, детей: ?

Answer 1

x мужчин, y женщин и z детей.

$\begin{cases}x+y+z=12\\2x+0,5y+0,25z=12\end{cases}$

Умножим каждый член второго уравнения на 4:

$\begin{cases}x+y+z=12\\8x+2y+z=48\end{cases}$

Вычтем из второго равнения первое:

$8x-x+2y-y+z-z=48-12\\7x+y=36$

Теперь порассуждаем о возможном количестве мужчин, женщин и детей. Для того, чтобы не оставалось "лишних" четвертей хлеба, детей должно быть чётное количество - 2, 4, 6 и т.д. Значит мужчин и женщин в сумме должно быть не более 10. При этом мужчин не может быть больше 5, т.к. если их 6 и более, они будут нести 12 и более хлебов, что противоречит условиям задачи.

Значит мужчин от 1 до 5, женщин от 1 до 9.

Вернёмся к уравнению 7x+y = 36.

7x = 36-y

Число 36-y должно быть кратно 7 при y∈[1; 9]. Подходящих значений y два: 1 и 8. Но если женщин 8, то мужчин 4. Всего их 12, что противоречит условиям задачи.

Тогда

$\begin{cases}x=5\\y=1\\z=6\end{cases}$

Ответ:

    мужчин 5

    женщин 1

    детей 6