Question

Дослідити функцію та побудувати її графік y=x^3-8.
Помогите срочно 100 балов на кону

Answer 1

Дана функція:

$y = {x}^{3} - 8$

Область визначення:

$x \in \mathbb R$

Область значень:

$y \in \mathbb R$

Перетин з ОХ:

${x}^{3} - 8 = 0 \\ {x}^{3} = {2}^{3} \\ x = 2$

Перетин з ОУ:

${0}^{3} - 8 = y \\ y = - 8$

Парність функції:

$y( - x) = ( - x)^{3} - 8 = - {x}^{3} - 8 = - ( {x}^{3} + 8)$

Отже функція не є парною чи непарною.

Дана функція – кубічна парабола, зміщена на 8 одиниць вниз, тому графік даної функції зростає на всій області визначення.

Знайдемо похідну функції:

$y'=({x}^{3})'=3{x}^{2} \\y'=0; \: 3{x}^{2}=0;\: x=0$

Отримали точку можливого екстремуму.

Підставимо в похідну функції точку -1, щоб перевірити, як себе "поводить" функція до точки 0:

$y'(-1)=3{(-1)}^{2}=3>0$

Отже в точці -1 похідна більше нуля, а значить функція – зростає.

Підоставимо точку 1:

$y'(1)=3{(1)}^{2}=3>0$

В точці 1 похідна функції також більша нуля, значить після точки 0 функція також зростає.

Отже до і після точки 0 похідна не змінила свій знак, отже функція не має екстремуму.