Question

Помогите решить ду
(x^2+2xy)dx+xydy=0

Answer 1

$(x^2+2xy)dx+xydy=0$

Разделим почленно на $x^2$:

$\left(1+2\cdot\dfrac{y}{x}\right)dx+\dfrac{y}{x} \cdot dy=0$

Разделим также на $dx$:

$1+2\cdot\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{x} \cdot y'=0$

Замена: $\dfrac{y}{x} =t$

$y=tx$

$y=t'x+tx'=t'x+t$

Уравнение примет вид:

$1+2t+t(t'x+t)=0$

$\dfrac{1}{t} +2+t'x+t=0$

$t'x=-t-2-\dfrac{1}{t}$

$x\cdot\dfrac{dt}{dx} =-\dfrac{t^2+2t+1}{t}$

$\dfrac{tdt}{(t+1)^2} =-\dfrac{dx}{x}$

$\int\dfrac{tdt}{(t+1)^2} =-\int\dfrac{dx}{x}$

Проинтегрируем отдельно левую часть, используя замену:

$\int\dfrac{tdt}{(t+1)^2} =\left<\begin{array}{c} t+1=y\\ t=y-1\\dt=dy \end{array}\right>=\int\dfrac{(y-1)dy}{y^2} =\int\dfrac{ydy}{y^2} -\int\dfrac{dy}{y^2} =\\=\int\dfrac{dy}{y} +\dfrac{1}{y}=\ln|y|+\dfrac{1}{y} +C=\ln|t+1|+\dfrac{1}{t+1} +C$

Значит:

$\ln|t+1|+\dfrac{1}{t+1}=-\ln|x|+\ln C$

Обратная замена:

$\ln\left|\dfrac{y}{x} +1\right|+\dfrac{1}{\dfrac{y}{x}+1}=\ln\dfrac{C}{x}$

$\dfrac{1}{\dfrac{y}{x}+1}=\ln\dfrac{C}{x}-\ln\left|\dfrac{y}{x} +1\right|$

$\dfrac{x}{y+x}=\ln\dfrac{C}{x}-\ln\left|\dfrac{y+x}{x}\right|$

$\boxed{\dfrac{x}{y+x}=\ln\dfrac{C}{y+x}}$