Question

Найти определённый интеграл, методом интегрирования по частям

Answer 1

Ответ:

$7.05a^3\sqrt[3]{a}$

Пошаговое объяснение:

$u=x^2 \\ du=2xdx \\ dv=\frac{xdx}{\sqrt[3]{a^2+x^2} }\\ \\ v=\int \frac{xdx}{\sqrt[3]{a^2+x^2} }=\int \frac{d(x^2/2)}{({a^2+x^2} )^{1/3}}=\frac{1}{2} \int (a^2+x^2)^{-\frac{1}{3} }d(a^2+x^2)=\frac{1}{2}\frac{(a^2+x^2)^{2/3}}{2/3}= \\ \\ =\frac{3}{4} (a^2+x^2)^{2/3}$

Интегрирование по частям:

$\int udv=uv-\int vdu$

$\int\limits^{a\sqrt{7}}_0 {\frac{x^3dx}{\sqrt[3]{a^2+x^2} } } =\frac{3x^2}{4}(a^2+x^2)^{2/3} \ | ^{a\sqrt{7}}_0 \ - \int\limits^{a\sqrt{7}}_0\frac{3}{4} (a^2+x^2)^{2/3}*2x\ dx= \\ \\ =\frac{3(a\sqrt{7})^2}{4}(a^2+(a\sqrt{7})^2)^{2/3}-0-\frac{3}{4} \int\limits^{a\sqrt{7}}_0(a^2+x^2)^{2/3} \ d(a^2+x^2)= \\ \\ =\frac{21a^2}{4} (a^2+7a^2)^{2/3}-\frac{3}{4} \frac{(a^2+x^2)^{5/3}}{5/3}| ^{a\sqrt{7}}_0=\frac{21a^2}{4} (8a^2)^{2/3}-\frac{9}{20} (a^2+x^2)^{5/3}| ^{a\sqrt{7}}_0$

$\frac{21a^2}{4} (2a^{4/3})-\frac{9}{20} [(a^2+(a\sqrt{7})^2)^{5/3}-(a^2)^{5/3}]=21a^{10/3}-\frac{9}{20}[(8a^2)^{5/3}-\\ \\ -(a^2)^{5/3}]=21a^{10/3}-\frac{9}{20}(32a^{10/3}-a^{10/3})=21a^{10/3}-\frac{9}{20}*31a^{10/3}=\\ \\ =\frac{141}{20} a^{10/3}=\frac{141}{20}a^3\sqrt[3]{a} =7.05a^3\sqrt[3]{a}$