Question

Помогите решить уравнение

Answer 1

x²+y²+8x-18y+97=0

Решим относительно x

x²+8x+y²-18y+97=0

В уравнение вида ax²+bx+c=0

x²- a

8x - b

y²-18y+97 - c

D = 8²-4*1*(y²-18y+97) = 64-4y²+72y-388= - 4y²+72y-324 = - (2y-18)²

x12 = - 8 ± (-(2y-18)) /2

x1 = - 8 - 2y+18/2 = - 2y + 10/2 = - y+5

x2 = - 8 + 2y - 18/2 = 2y - 26/2 = y-13

Составим 2 системы

А) $\left \{ {x = 5-y} \atop x^{2} +y^{2} +8x-18y+97=0}} \right.$

б) $\left \{ {x=y-13} \atop {x^{2} +y^{2} +8x-18y+97=0}} \right.$

Решение системы а) :

$\left \{ {x = 5-y} \atop x^{2} +y^{2} +8x-18y+97=0}} \right.$

(5-y)²+y²+ 8*(5-y) - 18y +97=0

25-10y+y²+y²+40-8y-18y+97=0

2y²-36y+162=0

y²-18y+81=0

(y-9)²=0

y-9=0

y=9

x= 5-y = 5-9 = -4

Решение системы б) :

$\left \{ {x=y-13} \atop {x^{2} +y^{2} +8x-18y+97=0}} \right.$

( y-13)²+y²+8*(y-13)-18y+97=0

y²-26y+169+y²+8y-104-18y+97=0

2y²-36y²+162=0

y²-18y+81=0

(y-9)²=0

y-9=0

y=9

x= y-13 = 9-13 = -4

Ответ:  x = -4; y = 9

Answer 2

$x^2+y^2+8x-18y+97=0\\\\(x^2+8x)+(y^2-18y)=-97\\\\(x+4)^2-16+(y-9)^2-81=-97\\\\(x+4)^2+(y-9)^2=0$

Квадрат любого выражения неотрицателен (больше или равен нулю). Сумма квадратов двух выражений может давать ноль в том и только в том случае, когда каждый квадрат выражения равен 0  ( 0+0=0 ), то есть когда

$(x+4)^2=0\; \; \; i\; \; \; (y-9)^2=0\; \; \; \Rightarrow \; \; \; \underline {\; x=-4\; \; \; i\; \; \; y=9\; \; }$