Question

Знайдіть суму чисел 1/3 + 1/9 + 1/27 +...+ 1/729 , якщо її доданки є послідовними членами геометричної прогресії.

Answer 1

$b_1=1/3, q=1/3.$

Найдем номер последнего члена прогрессии:

$b_n=b_1q^{n-1}$

$\frac{1}{729}=\frac{1}{3}\cdot(\frac{1}{3})^{n-1},\\\\(\frac{1}{3})^6=(\frac{1}{3})^n\Rightarrow n=6$

Сумму $n$ членов прогрессии найдем по формуле $S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$:

$S_6=\frac{b_1(1-q^6)}{1-q}=\frac{1/3(1-1/729)}{1-1/3}=(1/3\cdot728/729):2/3=\frac{728}{2187} \cdot\frac{3}{2}= \frac{364}{729}.$

ОТВЕТ: $364/729$