Question

Решить уравнение:
y'' + y'=$\frac{1}{1+e^{x} }$

Answer 1

$y''+y'=\dfrac{1}{1+e^x}\\ e^xy''+e^xy'=\dfrac{e^x}{1+e^x}\\ (e^xy')'_x=\dfrac{e^x}{1+e^x}\\ e^xy'=\int\dfrac{e^x}{1+e^x}dx=\int\dfrac{1}{1+e^x}d(e^x+1)=ln(e^x+1)+C_1\\ y'=\dfrac{ln(e^x+1)}{e^x}+\dfrac{C_1}{e^x}$

$y=\int\dfrac{ln(e^x+1)}{e^x}dx+\int\dfrac{C_1}{e^x}dx=(*)\\ \int\dfrac{ln(e^x+1)}{e^x}dx=\int ln(1-\dfrac{1}{-\frac{1}{e^x}}) d(-\dfrac{1}{e^x})=\int ln(1-\dfrac{1}{t}) dt=[u=ln(1-\dfrac{1}{t}),\;du=\dfrac{\dfrac{1}{t^2}}{(1-\dfrac{1}{t})}dt,dv=1,v=t]=t*ln|1-\dfrac{1}{t}|-\int \dfrac{1}{t-1}dt=t*ln|1-\dfrac{1}{t}|-ln|t-1|+C_2=-e^{-x}ln(1+e^{x})-ln(e^{-x}+1)+C_2\\ (*)=-e^{-x}ln(1+e^{x})-ln(e^{-x}+1)+C_3e^{-x}+C_4$