Question

При каких значениях параметра a уравнение имеет единственное решение?
$25^{x} -(8a+5)5^{x} +16a^2+20a-14=0$

Answer 1

https://znanija.com/task/34873059

При каких значениях параметра a уравнение

(5ˣ)²  - (8a+5)*5ˣ +16a² +20a -14 =0   имеет единственное решение

Решение :  (5ˣ)²  - (8a+5)*5ˣ +16a² +20a -14 =0

Квадратное уравнение относительно   5ˣ > 0    ||   t = 5ˣ ||

D = (8a+5)² - 4(16a² +20a -14 )=64a² +80a +25 -64a² -80a+56 =81 =9² >0

т.е.  это уравнение всегда имеет 2 решения

1.  Если  свободный член  16a² +20a - 14  будет  отрицательный ,  то  корни будут разных знаков  и исходное уравнение будет  иметь одно решение  .  

16a² +20a - 14  = 16(a +7/4)(a - 1/2)  < 0 ⇒  a ∈ ( -7/4 ; 1/2 )  

- - - - - - -

2.  Второй случай   свободный член   16a² +20a - 14 = 0

a = -7/4  или a = 1/2  

уравнение  принимает вид   5ˣ (5ˣ  - 8a - 5)  = 0,  которое будет иметь  

очевидно  5ˣ ≠ 0  ,  остается 5ˣ  = 8a + 5   которое имеет   решение  если     8a +  5 > 0  ⇔   a >  - 5 / 8      ||    a = 1/2  удовлетворяет  ||

* * * -7/4 < -5/8   или   8*(-7/4 ) +5 = -14+5 = -9 < 0  * * *

Окончательно                                          Ответ:   a  ∈ ( -7/4 ; 1/2 ]