Question

Перпендикуляр, проведений з вершини паралелограма до його діагоналі, ділить її на відрізки довжиною 6см і 15 см. Знайдіть площу паралелограма, якщо різниця його сторін – 7см

Answer 1

Якщо ще актуально)

Дано: ABCD - паралелограм, АС - діагональ, ВН⟂АС, АН= 6 см, СН= 15 см, ВС–АВ= 7 см.

Знайти: S abcd.

Розв'язання.

Розглянемо трикутники АНВ і СНВ.

Вони прямокутні, а сторона ВН для них є спільним катетом. АН= 6 см, СН= 15 см, тому очевидно, що ВС>АВ.

Нехай АВ= х см, тоді ВС= (х+7) см.

Оскільки ВН - спільна сторона, тоді справедлива така рівність (через т.Піфагора у ΔAHB і ΔCHB):

АВ²–АН²= ВС²–НС²;

х²–6²= (х+7)²–15²;

х²–6²= х²+14х+49–225;

х²–х²–14х= 36+49–225;

–14х= –140;

14х= 140;

х= 10 (см)

Отже, АВ= 10 см, тоді:

ВН²= х²–6²= 10²–6²= 100–36= 64;

ВН= 8 см (–8 не може бути)

Розглянемо ΔABC:

AC= AH+HC= 6+15= 21 см

ВН= 8 см, ВН - висота ΔABC, оскільки ВН⟂АС.

Знайдемо площу ΔАВС:

S= ½•AC•BH;

S= ½•21•8= 84 (см²).

Діагоналі паралелограма ділять його на два рівних трикутники, тобто їх площі рівні.

SΔABC= SΔCDA= 84 см²

Звідси площа паралелограма ABCD дорівнює

S abcd= 2•SΔABC= 2•84= 168 (см²).

Відповідь: 168 см².