Question

1. Сколько существует четырёхзначных чисел, первая цифра которых чётная, а последняя нечётная?


2. В оперном театре 10 певцов и 8 певиц, а в опере по замыслу композитора 5 мужских и 3 женских партии. Сколько существует различных певческих составов для спектакля, если известно, что?
а) все певцы и певицы прекрасно ладят между собой;
б) 6 певцов накануне сорвали голос, и одной певице придётся петь мужскую роль?

Answer 1

1) Возьмём четырёхзначное число и поставим ограничения на первую и последнюю цифру. Для первого места подходят все чётные цифры, кроме нуля (4 варианта), для последнего все 5 нечётных, а посередине подходят все. По правилу произведения получается 4 · 10 · 10 · 5 = 2000.

2) $a)\; C_{10}^5\cdot C_8^3 = \frac{10!}{5!\cdot5!}\cdot\frac{8!}{3!\cdot 5!} = \frac{6\cdot7\cdot8\cdot9\cdot10}{2\cdot3\cdot4\cdot5}\cdot\frac{6\cdot7\cdot8}{2\cdot3} = 7\cdot2\cdot9\cdot2\cdot7\cdot8 = 14112$

$b)\;C_5^5\cdot C_7^3=1\cdot\frac{5\cdot6\cdot7}{2\cdot3} = 5\cdot7 = 35$