Question

Найти интегралы:
С полным решением.

Answer 1

Пример 1

Метод: разложение интеграла суммы/разности на сумму/разность табличных интегралов.

$\tt\displaystyle\int{\left(\frac{2}{x^2} - \frac{3}{\sqrt{x}} + 3\sqrt[3]{x^2}}\right)\,dx$

$\tt\displaystyle=\int{\frac{2}{x^2}}\,dx - \int{\frac{3}{\sqrt{x}}\,dx + \int{3\sqrt[3]{x^2}}\,dx$

$\tt\displaystyle= 2\int{\frac{1}{x^2}}\,dx -3\int{\frac{1}{\sqrt{x}}}\,dx + 3\int {x^{\frac{2}{3}}} \, dx$

$\tt\displaystyle = 2\cdot\left(-\frac{1}{x}\right)-3\cdot 2\sqrt{x}+3\cdot\frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} + C$

Пример 2

Метод: приведение под знак дифференциала.

$\tt\displaystyle\int{\frac{x^3}{1+x^4}}\, dx$

$\tt\displaystyle =\frac{1}{4}\int {\frac{(1+x^4)'}{1+x^4}} \, dx$

$\tt\displaystyle =\frac{1}{4}\int {\frac{d(1+x^4)}{1+x^4}}= \left \{ {{1 + x^4=t}} \right\}$

$\tt\displaystyle =\frac{1}{4}\int{\frac{1}{t}} \, dt$

$\tt\displaystyle =\frac{1}{4}\cdot ln|t|$

$\tt\displaystyle = \frac{1}{4}\cdot ln|1 + x^4| + C$

Но так как степень n = 4 чётная, то отрицательного значения в аргументе логарифма быть не может, максимальное значение: ln|1 + 0| = ln|1| = 0, следовательно, модуль можно убрать.

Пример 3

Метод: по частям.

Так как в подинтегральном выражении модуль, нужно рассматривать два случая:

$\tt\displaystyle I_1= \int {x\cdot lnx} \, dx \\\\\ I_2 = \int {x\cdot ln(-x)} \, dx$

Рассмотрим первый интеграл:

$\tt\displaystyle I_1= \int {x\cdot lnx} \, dx = \left[\begin{gathered}u=lnx\qquad du=\frac{1}{x}dx \\ dV=xdx\qquad V=\int {x}\, dx =\frac{x^2}{2} \end{array}\right]$

$\tt\displaystyle = u\cdot V - \int {V\cdot du} \, dx$

$\tt\displaystyle=lnx\cdot\frac{x^2}{2}-\int{\frac{1}{x}\cdot\frac{x^2}{2}} \, dx$

$\tt\displaystyle=lnx\cdot\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}\int {{x}} \, dx$

$\tt\displaystyle=lnx\cdot\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{2} + C$

Второй интеграл отличается от первого знаком минус в аргументе, поэтому ответ будет таким же, различаться будут лишь аргументы (это исключительный случай)

$\tt\displaystyle I_2=ln(-x)\cdot\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{2} + C$

Так как это кусочно-заданная функция

, нам необходимо написать условия для отдельных формул. Так, для I₁ условие x ≥ 0, а для I₂ < 0.