Question

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Answer 1

$1)\; \; y''=\frac{1}{cos^2x}\\\\y'=\int \frac{dx}{cos^2x}=tgx+C_1\; \; ,\; \; y'(0)=\frac{3}{5}\; \; \to \; \; \frac{3}{5}=tg0+C_1\; \; ,\; \; C_1=\frac{3}{5}\\\\y=\int (tgx+C_1)dx=\int \frac{sinx\, dx}{cosx}+\int C_1\, dx=-ln|cosx|+C_1x+C_2\\\\y(0)=1\; \; \to \; \; 1=-ln|cos0|+\frac{3}{5}\cdot 0+C_2\; \; , \; \; C_2=1\\\\\underline {\; y=-ln|cosx|+\frac{3}{5}\, x+\; }1$

$2)\; \; y''=\frac{1}{x^2}\\\\y'=\int x^{-2}\, dx=\frac{x^{-1}}{-1}+C_1=-\frac{1}{x}+C_1\; ,\\\\y'(1)=1\; \; \to \; \; 1=-1+C_1\; \; ,\; \; C_1=2\\\\y=\int (-\frac{1}{x}+C_1)\, dx=-ln|x|+C_1\, x+C_2\; ,\\\\y(1)=3\; \; \to \; \; 3=-ln1+2+C_2\; ,\; \; C_2=1\\\\\underline {\; y=-ln|x|+2x+1\; }$

$3)\; \; y''=24x^2-9e^{x}\\\\y'=\int (24x^2-9e^{x})\, dx=8x^3-9e^{x}+C_1\\\\y=\int (8x^3-9e^{x}+C_1)\, dx=2x^4-9e^{x}+C_1\,x +C_2\\\\\underline {\; y=2x^4-9e^{x}+C_1\,x +C_2\; }$

$4)\; \; x\cdot y''=y'\\\\y'=p(x)\; \; ,\; \; y''=p'\\\\x\cdot p'=p\; \; ,\; \; p\frac{x}{y} '=\frac{p}{x}\; \; ,\; \; \frac{dp}{dx}=\frac{p}{x}\; \; ,\; \; \int \frac{dp}{p}=\int \frac{dx}{x}\; ,\\\\ln|p|=ln|x|+lnC_1\; \; ,\; \; p=C_1\, x\; \; ,\; \; \frac{dy}{dx}=C_1\, x\; ,\\\\\int dy=\int C_1\, x\, dx\; \; ,\; \; \underline {\; y=C_1\cdot \frac{x^2}{2}+C_2\; }$

$5)\; \; (x^3+5)\cdot y''=3x^2\cdot y'\\\\y'=p(x)\; \; ,\; \; y''=p'\\\\(x^3+5)\cdot \frac{dp}{dx}=3x^2\cdot p\; \; ,\; \; \int \frac{dp}{p}=\int \frac{3x^2\, dx}{x^3+5}\; ,\\\\ln|p|=ln|x^3+5|+lnC_1\; \; ,\; \; p=C_1(x^3+5)\; \; ,\; \; \frac{dy}{dx}=C_1(x^3+5)\\\\\int dy=\int C_1(x^3+5)\\\\\underline {\; y=C_1\cdot (\frac{x^4}{4}+5x)+C_2\; }$

$6)\; \; y''-\frac{y'}{x}=24x^3\\\\y'=p(x)\; ,\; \; y''=p'\\\\p'-\frac{p}{x}=24x^3\\\\p=uv\; ,\; \; p'=u'v +uv'\\\\u'v +uv'-\frac{uv}{x}=24x^3\\\\u'v+u\, (v'-\frac{v}{x})=24x^3\\\\a)\; \; v'-\frac{v}{x}=0\; \; ,\; \; \int \frac{dv}{v}=\int \frac{dx}{x}\; \; ,\; \; ln|v|=ln|x|\; ,\\\\v=x\\\\b)\; \; u'x=24x^3\; \; ,\; \; u'=24x^2\; \; ,\; \; \int du=\int 24x^2\, dx\; ,\\\\u=8x^3+C_1\\\\c)\; \; p=x\, (8x^3+C_1)\; \; ,\; \; y'=8x^4+C_1\, x\; ,\\\\\int dy=\int (8x^4+C_1\, x)\, dx$

$y=\frac{8x^5}{5}+\frac{C_1x^2}{2}+C_2$