Question

Помогите пожалуйста. ДАЮ 10 БАЛЛОВ.

Прикаких значениях параметра a произведение действительных корней уравнения x2−(a+3)x+a2−7=0 на 2 больше суммы этих корне?

Корни -3 и 4 НЕ правильные

Answer 1

$x^{2} - (a + 3)x + a^{2} - 7 =0$

Воспользуемся теоремой Виета:

$x_{1} + x_{2} = a + 3$

$x_{1}x_{2} = a^{2} - 7$

Произведение корней $x_{1}x_{2}$ на 2 больше суммы $x_{1} + x_{2}$ этих корней, следовательно:

$a^{2} - 7 = a + 3 + 2$

$a^{2} - a - 12 = 0$

$a_{1} = -3; \ a_{2} = 4$

Определим, при каких значениях параметра $a$ данное уравнение существует.

$D = (a + 3)^{2} - 4 \cdot (a^{2} - 7) = a^{2} + 6a + 9 - 4a^{2} + 28 = -3a^{2} + 6a + 37$

Следовательно, $-3a^{2} + 6a + 37 \geqslant 0$ — условие существования корней данного квадратного уравнения.

Проверим, удовлетворяют ли полученные значения параметров для решения исходного уравнения.

Если $a=-3$, то получаем неправильное неравенство $-3 \cdot (-3)^{2} + 6 \cdot (-3) + 37 \ngeqslant 0$

Если $a=4$, то получаем верное неравенство $-3 \cdot 4^{2} + 6 \cdot 4 + 37 \geqslant 0$

Таким образом, только $a = 4$ обратит данное уравнение в таковое, что произведение корней на 2 будет больше суммы этих корней.

Ответ: $a = 4$