(xy^2- y^3)dx+(1-xy^2)dy = 0 помогите
Ответы
Ответ: 1/2*x²-x*y-1/y=C, где C - произвольная постоянная.
Пошаговое объяснение:
Запишем данное уравнение в виде P(x,y)*dx+Q(x,y)*dy=0, где P(x,y)=x*y²-y³, Q(x,y)=1-x*y². Так как dP/dy=2*x*y-3*y², а dQ/dx=-y², то dP/dy≠dQ/dx. Отсюда следует, что данное уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. Но так как выражение (dP/dy-dQ/dx)/P(x,y)=2/y=u(y), то есть зависит только от y, то данное уравнение имеет зависящий только от y интегрирующий множитель M(y). Он находится по формуле: M(y)=e^[-∫u(y)*dy]. В нашем случае ∫(u(y)*dy=2*∫dy/y=2*ln/y/, поэтому M(y)=e^[-2*ln/y/]=1/y². Умножая исходное уравнение на M(y), получаем уравнение (x-y)*dx+(1/y²-x)*dy=P1(x,y)*dx+Q1(x,y)*dy=0. Теперь равенство dP1/dy=dQ1/dx=-1 выполняется, поэтому это уравнение уже является уравнением в полных дифференциалах. Запишем его в виде dz/dx*dx+dz/dy*dy=0, где z(x,y) - неизвестная пока функция. Тогда P1=dz/dx=x-y, Q1=dz/dy=1/y²-x. Интегрируя первое из этих уравнений, находим z(x,y)=1/2*x²-x*y+f(y), где f(y) - неизвестная пока функция. Дифференцируя z(x,y) по y и приравнивая полученное выражение к Q1(x,y), получаем уравнение f'(y)-x=-x+1/y². Отсюда f'(y)=1/y², и интегрируя это уравнение, находим f(y)=-1/y+C1, где C1 - произвольная постоянная. Тогда z(x,y)=1/2*x²-x*y-1/y+C1=C2, где C2 - также произвольная постоянная. Отсюда 1/2*x²-x*y-1/y=C, где C=C2-C1 - общий интеграл уравнения.
Проверка: исходное уравнение можно записать в виде y'=dy/dx=(x*y²-y³)/(x*y²-1). Дифференцируя общий интеграл по x и учитывая, что y есть функция от x, получаем: x-y-x*y'+y'/y²=0. Отсюда y'*(1/y²-x)=y-x, или y'*(x-1/y²)=x-y. Тогда y'=(x-y)/(x-1/y²), и умножая числитель и знаменатель на y², получаем y'=(x*y²-y³)/(x*y²-1), что совпадает с исходным уравнением. Значит, общий интеграл уравнения найден верно.