Question

11 кл. Решить тригонометрические уравнения​

Answer 1

1) 6Sin²x + 5Cosx = 7

6(1 - Cos²x) + 5Cosx - 7 = 0

6 - 6Cos²x + 5Cosx - 7 = 0

6Cos²x - 5Cosx + 1 = 0

Сделаем замену : Cosx = m, - 1 ≤ m ≤ 1

6m² - 5m + 1 = 0

D = (- 5)² - 4 * 6 * 1 = 25 - 24 = 1

$m_{1}=\frac{5+1}{12}=\frac{1}{2}\\\\m_{2} =\frac{5-1}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\\\\1)Cosx=\frac{1}{2}\\\\x=\pm arcCos\frac{1}{2}+2\pi n,n\in Z\\\\x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n,n\in Z\\\\2)Cosx=\frac{1}{3}\\\\x=\pm arcCos\frac{1}{3}+2\pi n,n\in Z$

2)2Sin²x + 4SinxCosx = 3

2Sin²x + 4SinxCosx = 3 * (Sin²x + Cos²x)

2Sin²x + 4SinxCosx - 3Sin²x - 3Cos²x = 0

Sin²x - 4SinxCosx + 3Cos²x = 0

Разделим обе части на Cos²x , Cosx ≠ 0

Получим :

tg²x - 4tgx + 3 = 0

По теореме Виета :

или  tgx = 1     или    tgx = 3

$1)tgx=1\\\\x=arctg1+\pi n,n\in Z\\\\x=\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in Z\\\\2)tgx=3\\\\x=arctg3+\pi n,n\in Z$