Question

Решите интеграл, пожалуйста

Answer 1

Решение приложено...

Answer 2

Ответ: $-\sqrt{-(x+1)^2+4} -arcsin(\frac{x+1}{2} )+C$

Пошаговое объяснение:

Начнем с преобразования подкоренного выражения:

$3-2x-x^2=-(x+1)^2+4$

Тогда:

$\int {\frac{xdx}{\sqrt{3-2x-x^2} } } =\int {\frac{xdx}{\sqrt{-(x+1)^2+4} } }$

$d(-(x+1)^2+4)=(-2x-2)dx=-2xdx-2dx\\\\2xdx=-d(-(x+1)^2+4)-2dx\\xdx=-\frac{1}{2} d(-(x+1)^2+4)-dx$

Следовательно, мы можем записать, что:

$\int {\frac{xdx}{\sqrt{-(x+1)^2+4} } }=\int {\frac{-\frac{1}{2} d(-(x+1)^2+4)-dx}{\sqrt{-(x+1)^2+4} } }=\bigg|t=-(x+1)^2+4\bigg|\\\\=\int {\frac{-\frac{1}{2} dt}{\sqrt{t} } }-\int\frac{dx}{\sqrt{-(x+1)^2+4}} =-\frac{1}{2} \int t^{-\frac{1}{2} }dt-\int\frac{d(x+1)}{\sqrt{-(x+1)^2+4}}$

Это два табличных интеграла:

$-\frac{1}{2} \int t^{-\frac{1}{2} }dt-\int\frac{d(x+1)}{\sqrt{-(x+1)^2+4}} =-\sqrt{t} -arcsin(\frac{x+1}{2} )+C=\\\\-\sqrt{-(x+1)^2+4} -arcsin(\frac{x+1}{2} )+C$