Question

Среди студентов трёх групп была проведена одна контрольная робота. При этом в первой группе с 30 студентов 8 написали работу на "отлично", во второй, где 28 студентов, - 6 "отличных" работ, в третей, где 27 студентов, - 9 работ сделаны на "отлично". Первая выбранная случайная работа среди работ, что принадлежат группе, которая также выбрана случайно, оказалась "отличной". Какая вероятность того, что это работу написал студент третей группы?

Answer 1

Обозначим событие A – выбрана работа, выполненная на «отлично».

$H_1$ – выбрана работа из 1-й группы,

$H_2$ – выбрана работа из 2-й  группы,

$H_3$ – выбрана работа из 3-й группы

$P(H_1)=P(H_2)=P(H_3)=\dfrac{1}{3}$

Условные вероятности:

$P(A|H_1)=\dfrac{8}{30}=\dfrac{4}{15}\\ \\ P(A|H_2)=\dfrac{6}{28}=\dfrac{3}{14}\\ \\ P(A|H_3)=\dfrac{9}{27}=\dfrac{1}{3}$

По формуле полной вероятности, вероятность события А:

$P(A)=P(A|H_1)P(H_1)+P(A|H_2)P(H_2)+P(A|H_3)P(H_3)=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{57}{70}=\dfrac{19}{70}$

По формуле Байеса, вероятность того, что эту работу написал студент третьей группы:

$P(H_3|A)=\dfrac{P(A|H_3)P(H_3)}{P(A)}=\dfrac{\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{3}}{\dfrac{19}{70}}=\dfrac{70}{171}$

Ответ: 70/171.