Question

Уравнение 5a*sin2x=tgx+ctgx имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда

Answer 1

$5a\sin2x=\mathrm{tg}\,x+\mathrm{ctg}\,x$

$5a\sin2x=\dfrac{\sin x}{\cos x} +\dfrac{\cos x}{\sin x},\ \sin x\cos x\neq 0\Rightarrow x\neq \dfrac{\pi n}{2} ,\ n\in \mathbb{Z}$

$5a\sin2x=\dfrac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin x\cos x}$

$\dfrac{5a}{2}\sin2x=\dfrac{\sin^2x+\cos^2x}{2\sin x\cos x}$

$\dfrac{5a}{2}\sin2x=\dfrac{1}{\sin2x}$

$\dfrac{5a}{2}\sin^22x=1$

$\sin^22x=\dfrac{2}{5a}$

Уравнение будет иметь корни, если квадрат синуса принимает значения из отрезка $[0;\ 1]$. Но синус не может равняться 0, как было отмечено ранее. Значит, допустимые значения квадрата синуса:

$\sin^22x\in(0;\ 1]$

$0<\dfrac{2}{5a}\leq 1$

$0<\dfrac{1}{a}\leq \dfrac{5}{2}$

$a\geq\dfrac{2}{5}$

Ответ: $a\in\left[\dfrac{2}{5};+\infty\right)$