Question

Внутри угла acb=60 градусов взята точка M.  Известно, что AC=BC, AM =корень из 2, BM =2, угол AMC =15 градусов. Найдите CM.

Answer 1

Так как не сказано что он лежит в треугольнике АВС . Треугольник АВС равносторонний так как угол С равен 60 гр, а стороны равны, тогда углы при оснований тоже равны по 60гр. 
Найдем углы ВАМ и МВА. 
Выведем такие соотношения, для  начало я обозначу стороны треугольников как х, а углы ВАМ и МВА $alpha beta$ . Тогда 
$frac{2}{sin alpha }=frac{sqrt{2}}{sin beta }$
С одной стороны сторона СМ равна 
$CM^2=x^2+2-2sqrt{2}xcos(60+a)$
с другой стороны  $CM^2=x^2+4-4xcos(60+ beta )$ 
и по теореме косинусов сторона х равна 
$x=sqrt{6-4sqrt{2}*cos(a+b)}$
теперь перед началом всех преобразований , сделаем предварительные вычисления 
$cos(60+a)=0.5cos alpha - frac{sqrt{3}}{2}sin alpha \ cos(60+b)=0.5cos beta -frac{sqrt{3}}{2}sin beta \ cos(a+b)=cos alpha *cos beta -sin alpha *sin beta$

Теперь для простоты сделаем замену , еще одну 
$sinb=z$
тогда другие стороны равны 
$cosb=sqrt{1-z^2}\ sina=frac{2z}{sqrt{2}}\ cosa=sqrt{1-frac{4z^2}{2}}$
Тогда сторона х запишется как 
$x=sqrt{6-4sqrt{2}*(sqrt{1-frac{4z^2}{2}}*sqrt{1-z^2}-frac{2z}{sqrt{2}}*z)}$

Теперь все это подставим в уравнение где СМ, решим данное уравнение , получим что  $z= frac{sqrt{2}}{2}$
то есть  $beta =45\ alpha =90$
тогда СМ равна $sqrt{x^2+2-2sqrt{2}*x*cos150}\ x=sqrt{6-4sqrt{2}*cos135}=sqrt{2}\ CM=sqrt{2+2+2sqrt{2}*sqrt{2}*frac{sqrt{3}}{2}} = sqrt{4+2sqrt{3}}$