Question

Применяя указанные подстановки, вычислить следующие интегралы:

Answer 1

Ответ:  $\frac{\pi}{\sqrt{5}}$

Объяснение:

$tg\frac{t}{2}=z \\\\\frac{t}{2}=arctgz \, \, \, \, \, \, \, \, t=2artcgz\\\\dt=\frac{2dz}{1+z^2} \\\\cost=\frac{1-tg^2\frac{t}{2} }{1+tg^2\frac{t}{2}} =\frac{1-z^2}{1+z^2} \\\\\int {\frac{dt}{3+2cost} }=\int \frac{\frac{2dz}{1+z^2}}{3+2\frac{1-z^2}{1+z^2}} =\int \frac{\frac{2dz}{1+z^2}}{\frac{5+z^2}{1+z^2}}=2\int \frac{dz}{z^2+5}=\frac{2}{\sqrt{5}} artcg\frac{z}{\sqrt{5}} +C=$

$\frac{2}{\sqrt{5}} artcg\frac{tg\frac{t}{2} }{\sqrt{5}}+C$

Вычислим определенный интеграл:

$\int\limits^{\pi}_0 {\frac{dt}{3+2cost}} =\frac{2}{\sqrt{5}} artcg\frac{tg\frac{\pi}{2} }{\sqrt{5}}-\frac{2}{\sqrt{5}} artcg\frac{tg\frac{0}{2} }{\sqrt{5}}$

$\lim tg\frac{\pi}{2}=\infty$ . Мы имеем дело с несобственным интегралом 2 рода. Определим его сходимость:

$\lim_{\epsilon \to 0}{\frac{2}{\sqrt{5}} artcg\frac{tg\frac{\pi}{2}-\epsilon }{\sqrt{5}}-\frac{2}{\sqrt{5}} artcg\frac{tg\frac{0}{2} }{\sqrt{5}}}=\frac{\pi}{\sqrt{5}}$