Question

Вычислить интегралы:

Answer 1

Ответ:  $ln\frac{9}{8} \approx 0.112$

Объяснение:

$\int\limits^1_0 {\frac{xdx}{x^2+3x+2} }$

Разложим дробь в интеграле на простейшие:

$\frac{x}{x^2+3x+2} =\frac{1}{(x+2)(x+1)}\\\\\ \frac{x}{(x+2)(x+1)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x+1}\\\\ \frac{x}{(x+2)(x+1)}=\frac{A(x+1)+B(x+2)}{(x+2)(x+1)}\\\\\left \{ {{A+B=1} \atop {A+2B=0}} \right. \Rightarrow A=2 \, \, \, \, , \, B=-1\\\\\frac{x}{x^2+3x+2}=\frac{2}{x+2}+\frac{-1}{x+1}$

Итак:

$\int\limits^1_0 {\frac{xdx}{x^2+3x+2} }=\int\limits^1_0{(\frac{2}{x+2}-\frac{1}{x+1})dx}=2ln(x+2)\bigg|\limits^1_0-ln(x+1)\bigg|\limits^1_0=\\\\2(ln3-ln2)-ln2=ln\frac{9}{8} \approx 0.112$