Question

Окружность проходит через вершины C и D трапеции ABCD касается боковой стороны AB в точке B и пересекает большее основание AD в точке K. Известно, что AB=5√3,BC=5, KD=10.Найти радиус окружности.

Answer 1

Решение смотрите во вложении

Answer 2

https://znanija.com/task/34786891                                                                        * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

Окружность проходит через вершины C и D трапеции ABCD касается боковой стороны AB в точке B и пересекает большее основание AD в точке K. Известно, что AB=5√3,BC=5, KD=10.Найти радиус окружности.

* * * AD  и  BC  основания трапеции * * *

решение : Фактически нужно определить радиус окружности около трапеции KBCD. Очевидно трапеция  равнобедренная ⇒  BK = DC  и   ∡BKD + ∡DCB =180°. Необходимо определить некоторые ее элементы

1.

AB²=AD*AK  ( известная теорема)

* * *  ΔABK ~ ΔADB  * * *

AB²=(AK+KD) *AK    || AK =x > 0 ||

x(x+10) =(5√3)² ⇔ x² + 10x - 75 =0 ( корни разного знака )

x₁ = - 15 _посторонний ,  x₂ = 5 теорема  Виета ИЛИ x₁, ₂ = -5 ± 10

AK = 5

2.  

ΔABK ~ ΔDBC  (по второму  признаку )

(∡ABK = ◡ BK/2 = ∡BDK = ∡DBC  и   ∡AKB=180°- ∡BKD = ∡DCB )

AB / DB  =       AK / DC = BK/ BC  ⇔  ( учитывая    BK = DC)

AB / DB  =       AK / DC = DC/ BC    ;   DC =√AK*BC = √5*5 = 5

AB / DB  =  AK / DC   ⇒ DB = AB*DC/AK =5√3 *5/5 = 5√3 .

Все :   ΔBCD    || ΔBKD ||  определены однозначно  с тремя сторонами

Вычислить радиус окружности не представляет трудности _

в  крайнем случае можно применить  формулу   R  =  abc/4S  , где

S =√p(p-a)(p-b)(p-c)   ( площадь по формуле Герона ).

Но в данной задаче можно заметить ,что центр O  окружности   совпадает со  серединой отрезка KD.  R =OK=OD = 5  учитывая ,что    KO =DO =5= BC  ⇒ четырехугольники  KBCO , BCDO параллелограмм  поэтому  OK =DC =OB и  OD=KB =OC

* * * Расчет  длины радиуса  еще и  упрощается ввиду того , что  Δ BCD оказался  прямоугольным ,по обратной теореме Пифагора :

AB² +BD² =5² +(5√3)² =100 =10² = KD² .         ||   R =5 ||

* * * не так трудно  радиус определить  из равнобедренного  ΔBKD   со сторонами BC=CD=5 ; BD=5√3  * * *