Question

Помогите,пожалуйста!!! Не могу значения в промежутке найти
Cos2x-Sin^2x=0,25 [P/2;3P]

Answer 1

Ответ:  $\frac{\pi}{6} ,\frac{7\pi}{6} ,\frac{11\pi}{6}, \frac{13\pi}{6} ,\frac{17\pi}{6}$

Пошаговое объяснение:

$cos2x-sin^2x=0.25$

Применим формулу двойного угла для косинуса:

$cos(2t)=1-2sin^2t$

Тогда:

$cos2x-sin^2x=0.25\\1-2sin^2x-sin^2x=0.25\\1-3sin^2x=0.25\\3sin^2x=1-0.25=0.75\\sin^2x=0.25\\sinx =\pm 0.5$

1 случай:

$sinx=\frac{1}{2} \\x=\frac{\pi}{6}+2\pi k, k\in Z \\\\x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k, k\in Z$

2 случай:

$sinx=-\frac{1}{2} \\x=\frac{11\pi}{6}+2\pi k, k\in Z \\\\x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k, k\in Z$

На рисунке видно, что

 $\frac{5\pi}{6} +\pi=\frac{11\pi}{6} \\\frac{\pi}{6} +\pi=\frac{7\pi}{6}$

Объединив ответы, получим окончательное решение:

$x=\frac{\pi}{6}+\pi k, k\in Z \\\\x=\frac{5\pi}{6}+\pi k, k\in Z$

На рисунке указан промежуток $[\frac{\pi}{2};3\pi]$ и корни уравнения в этом промежутке (синими звездочками обозначены корни, к которым надо прибавить $2\pi$, поскольку мы проходим круг второй раз):

$\frac{\pi}{6} ,\frac{7\pi}{6} ,\frac{11\pi}{6}, \frac{\pi}{6}+2\pi ,\frac{5\pi}{6}+2\pi$

Или:

$\frac{\pi}{6} ,\frac{7\pi}{6} ,\frac{11\pi}{6}, \frac{13\pi}{6} ,\frac{17\pi}{6}$