Question

Решить уравнение в $R$:
$4x\sqrt{2x-x^2}=2x-1$

Answer 1

$4x\sqrt{2x-x^2} = 2x-1 => \sqrt{2x-x^2} = \frac{2(x-\frac{1}{2})}{4x} => \frac{2(x-\frac{1}{2})}{4x} \geq 0 => x = (-\infty; 0)[\frac{1}{2}; +\infty)\\(4x\sqrt{2x-x^2})^2 = (2x-1)^2\\16x^2(2x-x^2) = 4x^2-4x+1;\\32x^3-16x^4 = 4x^2-4x+1\\16x^4-32x^3+4x^2-4x+1=0\\(2x)^4 - 4(2x)^3 + (2x)^2 - 2(2x) + 1 = 0\\2x = t\\t^4 - 4t^3 + t^2 - 2t + 1 = 0\\t^4 - 4t^3 + 6t^2 - 4t + 1 - 6t^2 + 4t - 1 + t^2 - 2t + 1 = 0\\(t-1)^4 - 5t^2+2t = 0\\t-1 = y => t = y+1;\\y^4 - 5(y+1)^2 + 2(y+1) = 0$

$y^4 - 5y^2 - 10y - 5+2y + 2 = 0\\y^4 - 5y^2 - 8y - 3 = 0\\y^4 - 2* \frac{5}{2} y^2 + (\frac{5}{2} )^2 - (\frac{5}{2} )^2 - 8y - 3 = 0\\(y^2 - \frac{5}{2} )^2 = 8y + 3 + \frac{25}{4} = 8y + \frac{37}{4}\\ (y^2 - \frac{5}{2} + a)^2 = 8y + \frac{37}{4} + 2a(y^2 - \frac{5}{2}) + a^2\\ (y^2 - \frac{5}{2} + a)^2 = 2a*y^2 + 8y + a^2 - 5a + \frac{37}{4}\\ f(y) = 2a*y^2 + 8y + a^2 - 5a + \frac{37}{4} = 2a(y-y_0)^2\\y_0 = -\frac{8}{4a} = -\frac{2}{a};\\ f(y) = 2a(y-y_0)^2 = 2a(y+\frac{2}{a})^2$

Последние три равенства имеют место быть тогда, когда дискриминант f(y) равен нулю. Найдем такое a, при котором это имеет место:

$\frac{D}{4} = 4^2-2a(a^2 - 5a + \frac{37}{4}) = 0\\ 4^2-2a(a^2 - 5a + \frac{37}{4}) = 16 - 2a^3 + 10a^2 - \frac{37}{2}a = 0\\2a^3 - 10a^2 + \frac{37}{2}a - 16 = 0 | *4\\ (2a)^3 - 10(2a)^2 + 37*(2a) - 64 = 0\\2a = k => a = \frac{k}{2}\\ k^3 - 10k^2 + 37k - 64 = 0|*27\\(3k)^3 - 30(3k)^2 + 333(3k)-1728=0\\3k = m => k = \frac{m}{3} => a = \frac{m}{6}\\ m^3 - 30m^2 + 333m - 1728 = 0\\m^3 - 3*10m^2 + 3*100m - 1000 - 300m + 1000 + 333m - 1728 = 0\\(m-10)^3 + 33m - 728 = 0$

$m-10 = u => m = u+10 => a = \frac{u+10}{6}\\ u^3 + 33(u+10) - 728 = 0\\u^3 + 33u + 330 - 728 = 0\\u^3 + 33u - 398 = 0\\u = \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{Q}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{Q}}\\ Q = (\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3\\ q = -398, p = 33\\Q = 199^2 + 11^3 = 40932 = (6\sqrt{1137})^2\\u = \sqrt[3]{199 + 6\sqrt{1137}} + \sqrt[3]{199-6\sqrt{1137}} => a = \frac{\sqrt[3]{199 + 6\sqrt{1137}} + \sqrt[3]{199-6\sqrt{1137}}+10}{6}$

На этом этапе можно вернуться к исходной функции f(y):

$f(y) = 2a(y+\frac{2}{a})^2 = \frac{1}{3}(\sqrt[3]{199+6\sqrt{1137}} + \sqrt[3]{199-6\sqrt{1137}}+10)(y+\frac{12}{\sqrt[3]{199+6\sqrt{1137}} +\sqrt[3]{199-6\sqrt{1137}}+10}^2$$(y^2 - \frac{5}{2} + \frac{\sqrt[3]{199+6\sqrt{1137} } +\sqrt[3]{199-6\sqrt{1137} } +10}{6})^2 = \frac{1}{3}(\sqrt[3]{199+6\sqrt{1137}} + \sqrt[3]{199-6\sqrt{1137}}+10)(y+\frac{12}{\sqrt[3]{199+6\sqrt{1137}} +\sqrt[3]{199-6\sqrt{1137}}+10})^2$

Эти громоздкие числа я заменю на приближенное значение, но вы можете посчитать точно)

$\sqrt[3]{199+6\sqrt{1137}} + \sqrt[3]{199-6\sqrt{1137}}+10 = 15.885...$

Тогда уравнение примет вид:

$\frac{1}{3}*15.885...(y + \frac{12}{15.885...})^2 = (y^2 - 2.5 + 2.6475...)^2\\ 5.295...(y+0.75543...)^2 = (y^2 -0.1475...)^2\\(y^2 -0.1475...)^2 - 5.295...(y+0.75543...)^2 = 0\\(y^2 - 0.1475... - \sqrt{5.295...}y - 4...)(y^2 - 0.1475... + \sqrt{5.295...}y +4...)=0\\(y^2 - 2.3...y - 4.1475...)(y^2 + 2.3...y + 3.8525...)=0$

Второй множитель, очевидно, корней не имеет, ибо дискриминант отрицателен. Значит, решаем только первый множитель:

$y^2 - 2.3...y - 4.1475... = 0\\D = 2.3...^2 + 4* 4.1475... = 5.295...+16.59...=21.885... = (4.678...)^2\\y_1 = \frac{2.3...+4.678...}{2} = 3.489...\\ y_2 = \frac{2.3...-4.678...}{2} = -1.189...\\x = \frac{y+1}{2}\\x_1 = \frac{3.489...+1}{2} = 2.2445...\\ x_2 = \frac{-1.189...+1}{2} = -0.0945\\ 0 < x_2 < \frac{1}{2} \\Answer: 2.2445...$