Question

Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка.
x(y'' + 1)+y'=0

Answer 1

$\displaystyle x(y''+1)+y'=0\\y'=z;y''=z'\\x(z'+1)+z=0\\xz'+z=-x\\\frac{xdz}{dx}+z=0\\\frac{xdz}{dx}=-z\\\frac{dz}{z}=-\frac{dx}{x}\\ln|z|=-ln|x|+C(x)\\z=\frac{C(x)}{x}\\z'=\frac{C'(x)}{x}-\frac{C(x)}{x^2}\\C'(x)-\frac{C(x)}{x}+\frac{C(x)}{x}=-x\\C'(x)=-x\\C(x)=-\frac{x^2}{2}+C_1\\z=-\frac{x}{2}+\frac{C_1}{x}=y'\\y=-\frac{x^2}{4}+C_1ln|x|+C_2$