Question

В поле комплексных чисел решить уравнение:
|z|+|z+i|=1.

Answer 1

$|z|+|z+i|=1$

Представим число $z$ виде $x+yi$:

$|x+yi|+|x+yi+i|=1$

$|x+yi|+|x+(y+1)i|=1$

$\sqrt{x^2+y^2} +\sqrt{x^2+(y+1)^2}=1$

$\sqrt{x^2+y^2} +\sqrt{x^2+y^2+2y+1}=1$

Замена: $x^2+y^2=a\geq 0$

$\sqrt{a} +\sqrt{a+2y+1}=1$

Возведем левую и правую части в квадрат:

$(\sqrt{a} +\sqrt{a+2y+1})^2=1^2$

$a +a+2y+1+2\sqrt{a} \cdot\sqrt{a+2y+1}=1$

$2a+2y+2\sqrt{a^2+2ay+a}=0$

$a+y+\sqrt{a^2+2ay+a}=0$

$\sqrt{a^2+2ay+a}=-(a+y)$

Еще раз возведем в квадрат, учитывая, что $a+y\leq 0$:

$(\sqrt{a^2+2ay+a})^2=(-(a+y))^2$

$a^2+2ay+a=a^2+2ay+y^2$

$a=y^2$

Обратная замена:

$x^2+y^2=y^2$

$x^2=0$

$\Rightarrow x=0$

Подставим значение х:

$\sqrt{0^2+y^2} +\sqrt{0^2+(y+1)^2}=1$

$\sqrt{y^2} +\sqrt{(y+1)^2}=1$

$|y| +|y+1|=1$

Моули раскроем при трех случаях.

Если $x<-1$:

$-y -y-1=1$

$-2y =2$

$y=-1$ - решение не из рассматриваемого диапазона

Если $-1\leq y\leq 0$:

$-y +y+1=1$

$1=1$

Верное равенство, значит любой у из отрезка $-1\leq y\leq 0$ - решение

Если $y>0$:

$y +y+1=1$

$2y=0$

$y=0$ - решение не из рассматриваемого диапазона

Таким образом, решениями являются все числа вида $z=x+yi$, где $x=0,\ y\in[-1;\ 0]$, или, записывая проще, $z=yi$, где $y\in[-1;\ 0]$

Ответ: $z=yi$, где $y\in[-1;\ 0]$