Question

Дифференциальное уровнение первого порядка.
Помогите решить

Answer 1

$(x^2+xy+y^2)dx-xydy=0$

Разделим почленно на $x^2$:

$\left(1+\dfrac{y}{x} +\dfrac{y^2}{x^2}\right)dx-\dfrac{y}{x}dy=0$

Разделим почленно на $dx$:

$1+\dfrac{y}{x} +\dfrac{y^2}{x^2}-\dfrac{y}{x}\cdot\dfrac{dy}{dx} =0$

$1+\dfrac{y}{x} +\dfrac{y^2}{x^2}-\dfrac{y}{x}\cdot y'=0$

Замена:

$\dfrac{y}{x}=t\\\Rightarrow y=tx\\\Rightarrow y'=t'x+tx'=t'x+t$

$1+t +t^2-t\cdot(t'x+t)=0$

$1+t +t^2-xtt'-t^2=0$

$1+t-xtt'=0$

$xtt'=1+t$

$xt\cdot\dfrac{dt}{dx} =1+t$

$\dfrac{t}{1+t}dt=\dfrac{dx}{x}$

$\left<\dfrac{t}{1+t}=\dfrac{1+t-1}{1+t}=1-\dfrac{1}{1+t}\right>$

$\left(1-\dfrac{1}{1+t}\right)dt=\dfrac{dx}{x}$

$\int \left(1-\dfrac{1}{1+t}\right)dt=\int\dfrac{dx}{x}$

$t-\ln|1+t|=\ln|x|+\ln C$

$t=\ln|x|+\ln C+\ln|1+t|$

$t=\ln \left(Cx(1+t)\right)$

Обратная замена:

$\dfrac{y}{x} =\ln \left(Cx\left(1+\dfrac{y}{x}\right)\right)$

$\dfrac{y}{x} =\ln \left(C\left(x+y\right)\right)$

$\boxed{C\left(x+y\right)=e^{\frac{y}{x} }}$ - общее решение

Подставим данные по условию $y(1)=0$:

$C\left(1+0\right)=e^{\frac{0}{1} }$

$C=1$

$\boxed{x+y=e^{\frac{y}{x} }}}$ - частное решение