Question

Найти n производную:
f(x) = $\frac{2}{1-3x^{2} }$

Answer 1

$f(x)=\dfrac{2}{1-3x^2}$

Представим дробь $\dfrac{2}{1-3x^2}$ в виде суммы дробей следующим образом:

$\dfrac{2}{1-3x^2}=\dfrac{a}{1-x\sqrt{3} }+\dfrac{b}{1+x\sqrt{3} }$

Определим коэффициенты a и b. Для этого сложим дроби в правой части:

$\dfrac{a}{1-x\sqrt{3} }+\dfrac{b}{1+x\sqrt{3} }=\dfrac{a(1+x\sqrt{3})+b(1-x\sqrt{3}) }{1-3x^2}=\dfrac{a+ax\sqrt{3}+b-bx\sqrt{3} }{1-3x^2}$

Рассмотрим равенство:

$\dfrac{a+ax\sqrt{3}+b-bx\sqrt{3} }{1-3x^2}=\dfrac{2}{1-3x^2}$

Дроби равны, знаменатели равны, значит равны и числители.

$a+ax\sqrt{3}+b-bx\sqrt{3}=2$

$(a\sqrt{3}-b\sqrt{3})x+(a+b)=2$

Приравняем соответствующие коэффициенты при степенях:

$\begin{cases} a\sqrt{3}-b\sqrt{3}=0 \\ a+b=2\end{cases}$

$\begin{cases} a-b=0 \\ a+b=2\end{cases}$

$2a=2\\\Rightarrow a=1\\\Rightarrow b=2-1=1$

Итак: $f(x)=\dfrac{1}{1-x\sqrt{3} }+\dfrac{1}{1+x\sqrt{3} }=(1-x\sqrt{3})^{-1}+(1+x\sqrt{3})^{-1}$

Производная суммы равна сумме производных.

Найдем производную для функции $f_1(x)=(1-x\sqrt{3})^{-1}$

$f_1'(x)=(-1)\cdot(1-x\sqrt{3})^{-2}\cdot(1-x\sqrt{3})'=(-1)\cdot(1-x\sqrt{3})^{-2}\cdot(-\sqrt{3})\\\boxed{f_1'(x)=\sqrt{3}\cdot(1-x\sqrt{3})^{-2}}$

$f_1''(x)=\sqrt{3}\cdot(-2)\cdot(1-x\sqrt{3})^{-3}\cdot(1-x\sqrt{3})'\\f_1''(x)=\sqrt{3}\cdot(-2)\cdot(1-x\sqrt{3})^{-3}\cdot(-\sqrt{3})\\\boxed{f_1''(x)=2\cdot(\sqrt{3})^2\cdot(1-x\sqrt{3})^{-3}}$

$f_1'''(x)=2\cdot(\sqrt{3})^2\cdot(-3)\cdot(1-x\sqrt{3})^{-4}\cdot(1-x\sqrt{3})'\\f_1'''(x)=2\cdot(\sqrt{3})^2\cdot(-3)\cdot(1-x\sqrt{3})^{-4}\cdot(-\sqrt{3})\\\boxed{f_1'''(x)=2\cdot3\cdot(\sqrt{3})^3\cdot(1-x\sqrt{3})^{-4}}$

$f_1^{(4)}(x)=2\cdot3\cdot(\sqrt{3})^3\cdot(-4)\cdot(1-x\sqrt{3})^{-5}\cdot(1-x\sqrt{3})'\\f_1^{(4)}(x)=2\cdot3\cdot(\sqrt{3})^3\cdot(-4)\cdot(1-x\sqrt{3})^{-5}\cdot(-\sqrt{3})\\\boxed{f_1^{(4)}(x)=2\cdot3\cdot4\cdot(\sqrt{3})^4\cdot(1-x\sqrt{3})^{-5}}$

$\boxed{f_1^{(n)}(x)=n!\cdot(\sqrt{3})^n\cdot(1-x\sqrt{3})^{-(n+1)}}$

$\boxed{\boxed{f_1^{(n)}(x)=\dfrac{n!\cdot(\sqrt{3})^n}{(1-x\sqrt{3})^{n+1}}}}$

Аналогично, для второй функции $f_2(x)=(1+x\sqrt{3})^{-1}$:

$f_2'(x)=(-1)\cdot(1+x\sqrt{3})^{-2}\cdot(1+x\sqrt{3})'=(-1)\cdot(1+x\sqrt{3})^{-2}\cdot(\sqrt{3})\\\boxed{f_2'(x)=-\sqrt{3}\cdot(1+x\sqrt{3})^{-2}}$

$f_2''(x)=-\sqrt{3}\cdot(-2)\cdot(1+x\sqrt{3})^{-3}\cdot(1+x\sqrt{3})'\\f_2''(x)=-\sqrt{3}\cdot(-2)\cdot(1+x\sqrt{3})^{-3}\cdot(\sqrt{3})\\\boxed{f_2''(x)=2\cdot(\sqrt{3})^2\cdot(1+x\sqrt{3})^{-3}}$

$f_2'''(x)=2\cdot(\sqrt{3})^2\cdot(-3)\cdot(1+x\sqrt{3})^{-4}\cdot(1+x\sqrt{3})'\\f_2'''(x)=2\cdot(\sqrt{3})^2\cdot(-3)\cdot(1+x\sqrt{3})^{-4}\cdot(\sqrt{3})\\\boxed{f_2'''(x)=-2\cdot3\cdot(\sqrt{3})^3\cdot(1+x\sqrt{3})^{-4}}$

$f_2^{(4)}(x)=-2\cdot3\cdot(\sqrt{3})^3\cdot(-4)\cdot(1+x\sqrt{3})^{-5}\cdot(1+x\sqrt{3})'\\f_2^{(4)}(x)=-2\cdot3\cdot(\sqrt{3})^3\cdot(-4)\cdot(1+x\sqrt{3})^{-5}\cdot(\sqrt{3})\\\boxed{f_2^{(4)}(x)=2\cdot3\cdot4\cdot(\sqrt{3})^4\cdot(1+x\sqrt{3})^{-5}}$

$\boxed{f_2^{(n)}(x)=(-1)^n\cdot n!\cdot(\sqrt{3})^n\cdot(1+x\sqrt{3})^{-(n+1)}}$

$\boxed{\boxed{f_2^{(n)}(x)=(-1)^n\cdot\dfrac{n!\cdot(\sqrt{3})^n}{(1+x\sqrt{3})^{n+1}}}}$

Искомая производная:

$f^{(n)}(x)=f^{(n)}_1(x)+f^{(n)}_2(x)$

$f^{(n)}(x)=\dfrac{n!\cdot(\sqrt{3})^n}{(1-x\sqrt{3})^{n+1}}+(-1)^n\cdot\dfrac{n!\cdot(\sqrt{3})^n}{(1+x\sqrt{3})^{n+1}}$

$\boxed{\boxed{\boxed{f^{(n)}(x)=n!\cdot(\sqrt{3})^n\cdot\left(\dfrac{1}{(1-x\sqrt{3})^{n+1}}+\dfrac{(-1)^n}{(1+x\sqrt{3})^{n+1}\right)}}}}$