Question

Для функций f(x)=1-2sin^2(x/2) найдите первообразную,график которой проходит через данную точку М(-п/2;-10)

Answer 1

Первообразной для данной функции $\displaystyle f(x)$ называют такую функцию $\displaystyle F(x)$, производная которой равна $f$ (на всей области определения $f$), то есть $F(x)' = f(x)$.

Имеем функцию $f(x) = 1 - 2\sin^{2}\left(\dfrac{x}{2} \right)$

Упросим данную функцию, воспользовавшись формулой косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^{2}\alpha$

Тогда $f(x) = \cos x$

Общий вид первообразных для функции $f(x)$ имеет вид: $F(x) = \sin x + C$

Определим константу $C$, зная, что график первообразной проходит через точку $M \left(-\dfrac{\pi}{2}; -10 \right)$

Таким образом, $-10 = \sin \left( -\dfrac{\pi}{2} \right) + C$

$-10 = -\sin\dfrac{\pi}{2} + C$

$-10 = -1 + C$

$C = -9$

Следовательно, первообразной для функции $f(x)$, график которой проходит через данную точку $M \left(-\dfrac{\pi}{2}; -10 \right)$, является $F(x) = \sin x - 9$

Ответ: $F(x) = \sin x - 9$