Question

Знайти подвійний інтеграл $\int\limits \int\limits_D {x}{ ln y} \, dx dy$ по області D, обмеженій вказаними лініями: $xy=1$, $y=2$, y=$x^{2}$

Answer 1

В ході вирішення виходить дві області D. Для зручності знаходження інтегралів, висловимо всі графіки через змінну x.

$\displaystyle I_1=\int\limits_{D_1}xlnydxdy=\int\limits^2_1lnydy\int\limits^{\sqrt{y}}_{\frac{1}{y}}xdx=\\=\int\limits^2_1lny*dy*(\frac{x^2}{2})|^{\sqrt{y}}_{\frac{1}{y}}=\int\limits^2_1lny(\frac{y}{2}-\frac{1}{2y^2})dy=\\=\int\limits^2_1(\frac{ylny}{2}-\frac{lny}{2y^2})dy=(\frac{y^2}{4}lny-\frac{y^2}{8}+\frac{lny}{2y}+\frac{1}{2y})|^2_1=\\=ln2-\frac{1}{2}+\frac{ln2}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{2}=\frac{5}{4}ln2-\frac{5}{8}=\frac{5}{8}(2ln2-1)$

$\displaystyle\int ylnydy=\frac{y^2}{2}lny-\frac{1}{2}\int ydy=\frac{y^2}{2}lny-\frac{y^2}{4}\\u=lny;du=\frac{dy}{y}\\dv=ydy;v=\frac{y^2}{2}\\\\\int\frac{lny}{y^2}=-\frac{lny}{y}+\int\frac{dy}{y^2}=-\frac{lny}{y}-\frac{1}{y}\\\\u=lny;du=\frac{dy}{y}\\dv=\frac{dy}{y^2};v=-\frac{1}{y}$

$\displaystyle I_2=\int\limits_{D_{21}}xlnydxdy+\int\limits_{D_{22}}xlnydxdy=\\=\int\limits^2_1lnydy\int\limits^{\frac{1}{y}}_{-\sqrt y}xdx+(\int\limits^1_0lnydy\int\limits^{\sqrt y}_{-\sqrt y}xdx)_{\to 0}=\int\limits^2_1lnydy*\frac{x^2}{2}|^\frac{1}{y}_{-\sqrt y}=\\=\int\limits^2_1lnydy*(\frac{1}{2y^2}-\frac{y}{2})=-\int\limits^2_1lnydy*(\frac{y}{2}-\frac{1}{2y^2})=\frac{5}{8}(1-2ln2)$

Графік областей D в додатку