Question

Решите, пожалуйста, систему уравнений:
5х²-6ху+5у²=29
7х²-8ху+7у²=43

Answer 1

$\begin{cases} 5x^2-6xy+5y^2=29 \\ 7x^2-8xy+7y^2=43 \end{cases}$

$\begin{cases} 5(x^2+y^2)-6xy=29 \\ 7(x^2+y^2)-8xy=43 \end{cases}$

Замена: $\begin{cases} x^2+y^2=a \\ xy=b \end{cases}$

$\begin{cases} 5a-6b=29 \\ 7a-8b=43 \end{cases}$

Выразим а из первого уравнения:

$a=\dfrac{29+6b}{5}$

Подставим во второе уравнение:

$7\cdot\dfrac{29+6b}{5}-8b=43$

$7(29+6b)-40b=215$

$203+42b-40b=215$

$2b=12$

$b=6$

Находим а:

$a=\dfrac{29+6\cdot6}{5}=13$

Обратная замена:

$\begin{cases} x^2+y^2=13 \\ xy=6 \end{cases}$

Выразим х из второго уравнения:

$x=\dfrac{6}{y}$

Подставим в первое уравнение:

$\left(\dfrac{6}{y}\right)^2+y^2=13$

$\dfrac{36}{y^2}+y^2=13$

$36+y^4=13y^2$

$y^4-13y^2+36=0$

$D=(-13)^2-4\cdot1\cdot36=25$

$y_{12}^2=\dfrac{13+5}{2} =9\\y_{34}^2=\dfrac{13-5}{2} =4$

Находим решения системы:

$y_1=3;\ x_1=\dfrac{6}{3} =2$

$y_2=-3;\ x_2=\dfrac{6}{-3} =-2$

$y_3=2;\ x_3=\dfrac{6}{2} =3$

$y_4=-2;\ x_4=\dfrac{6}{-2} =-3$

Ответ: (3; 2); (-3; -2); (2; 3); (-2; -3)

Answer 2

и снова здрастити

опять замены

5х²-6ху+5у²=29

7х²-8ху+7у²=43

--

5х²-10ху+5у²+4xy=29

7х²-14ху+7у²+6xy=43

--

5(x²-2ху+у²)+4ху=29  

7(х²-2ху+у²)+6ху=43  

------

5(x-у)²+4ху=29  

7(х-у)²+6ху=43  

-----

замена

ху=а

(х-у)²=b

5b+4а=29 |*6  

7b+6а=43 |*4

--

5b+4а=29 |*6  

7b+6а=43 |*4

--

30b + 24a = 174

28b + 24a = 172

--

вычитаем

2b = 2

b = 1

5*1 + 4a = 29

a = 6

--

ху=6

(х-у)²=1

1. x - y = 1

x = 1 + y

y(y + 1) = 6

y² + y - 6 = 0

D = 1 + 24 = 25

y12=(-1 +- 5)/2 = -3    2

y1 = -3    x1 = -2

y2 = 2    x2 = 3

2. x - y = -1

x = -1 + y

y(y - 1) = 6

y² - y - 6 = 0

D = 1 + 24 = 25

y12=(1 +- 5)/2 = 3    -2

y1 = 3    x1 = 2

y2 = -2    x2 = -3

Ответ (-2, -3) (3,2) (2,3) (-3,-2)