Question

Нужна помощь в решении примера срочно!!

Answer 1

Решение:

Сначала вычислим сумму в знаменателе (в первом переходе мы использовали сумму арифметической прогрессии, а "делить на два" перенесли в числитель, преобразовав в "умножить на два"):

$\displaystyle 1 + \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} + ... + \frac{1}{1+2+3+...+2019} =\\\\= \frac{1}{1 \cdot 2} \cdot 2+\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot 2+ \frac{1}{3 \cdot 4} \cdot 2 + \frac{1}{4 \cdot 5} \cdot 2 +...+ \frac{1}{2019 \cdot 2020} \cdot 2 =\\\\= 2 \cdot \bigg (\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + ... + \frac{1}{2019 \cdot 2020} \bigg ) =$

$\displaystyle = 2 \cdot \bigg (\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... +\frac{1}{2019} - \frac{1}{2020} \bigg ) =\\\\= 2 \cdot \bigg (1 - \frac{1}{2020} \bigg) =2 \cdot \frac{2019}{2020}$

Мы фактически нашли значение знаменателя искомого выражения. Подставим его:

$\displaystyle \frac{2 \cdot 2019}{2 \cdot \frac{2019}{2020} } = 2019 : \frac{2019}{2020} = \frac{2019}{1} \cdot \frac{2020}{2019} = \frac{2020}{1} = 2020$

Надеюсь, мы нигде не ошиблись и получили верный ответ!

Ответ:  $\boxed {\bold {2020}}$.