Question

Помогите, пожалуйста, с интегралами!

Answer 1

$\displaystyle\int\limits^1_0 x^2\sqrt{1-x^2}dx=\int\limits^\frac{\pi}{2}_0(sin^2tcos^2t)dt=\frac{1}{4}\int\limits^\frac{\pi}{2}_0sin^22tdt=\frac{1}{4}\int\limits^\frac{\pi}{2}_0sin^22tdt=\\=\frac{1}{4}\int\limits^\frac{\pi}{2}_0(\frac{1}{2}-\frac{cos4t}{2})dt=\frac{1}{8}\int\limits^\frac{\pi}{2}_0dt-\frac{1}{32}\int\limits^\frac{\pi}{2}_0cos(4t)d(4t)=\\=\frac{1}{8}t|^\frac{\pi}{2}_0-\frac{1}{32}sin(4t)|^\frac{\pi}{2}_0=\frac{\pi}{16}$

$\displaystyle x=sint;dx=costdt\\cos4t=cos^22t-sin^22t=1-2sin^22t\\sin^22t=\frac{1-cos4t}{2}$

$\displaystyle\int\frac{7x-4}{x^2-8x+25}dx=\frac{7}{2}\int\frac{2x-8+\frac{48}{7}}{x^2-8x+25}dx=\\=\frac{7}{2}\int\frac{2x-8}{x^2-8x+25}dx+24\int\frac{dx}{x^2-8x+16+9}=\\=\frac{7}{2}\int\frac{d(x^2-8x+25)}{x^2-8x+25}+8\int\frac{d(\frac{x-4}{3})}{\frac{(x-4)^2}{9}+1}=\\=\frac{7}{2}ln|x^2-8x+25|+8arctg\frac{x-4}{3}+C\\\\(x^2-8x+25)'=2x-8$

Решение третьего задания вытекает из первого.