Question

$x ^{3}-3x^{2}-18=0$
ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА​

Answer 1

Ответ:

$x=\sqrt[3]{10+3\sqrt{11}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{10+3\sqrt{11}}}+1$

Объяснение:

$x^3-3x^2-18=0$

Найдем дискриминант кубического уравнения (он существует!):

$\Delta=0-0-4\cdot27\cdot18-27\cdot1\cdot324=-10692<0$

Значит, уравнение имеет 1 вещественный корень.

Выполним замену:

$x=t+1$

Тогда:

$(t+1)^3-3(t+1)^2-18=0$

Выполнив преобразования, получим:

$t^3-3t-20=0$

Выполним еще одну замену:

$t=\sqrt[3]{q}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{q}}$

Наше уравнение примет вид:

$q+\dfrac{1}{q}-20=0$

Это уравнение равносильно тому, что ниже при $q\ne0$:

$q^2-20q+1=0$

Откуда получаем 2 корня:

$q_1=10-3\sqrt{11}\\q_2=10+3\sqrt{11}$

Выполним обратную замену. Обратите внимание, что какой бы q ($q_1$ или $q_2$) мы не взяли, значение t получится одно и то же. Поэтому берем один любой q.

$q=10+3\sqrt{11},\; t=\sqrt[3]{10+3\sqrt{11}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{10+3\sqrt{11}}}$

Теперь найдем x, выполнив вторую обратную замену:

$t=\sqrt[3]{10+3\sqrt{11}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{10+3\sqrt{11}}},\; x=\sqrt[3]{10+3\sqrt{11}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{10+3\sqrt{11}}}+1\approx 4.081$

Уравнение решено!