Question

Вычислить предел при трёх значениях, которые представлены ниже (а,б,в).

Answer 1

$\lim_{x \to x_0} \frac{3x^2-x-10}{7x-x^2-10}$

a)  $x_0=1$

$\lim_{x \to 1} \frac{3x^2-x-10}{7x-x^2-10}=\frac{3*1^2-1-10}{7*1-1^2-10}=\frac{3-1-10}{7-1-10}=\frac{-8}{-4}=2$

Ответ:   $\lim_{x \to 1} \frac{3x^2-x-10}{7x-x^2-10}=2$

б)  $x_0=2$

$\lim_{x \to 2} \frac{3x^2-x-10}{7x-x^2-10}=(\frac{0}{0})$

1) Разложим на множители числитель:

$3x^{2} -x-10=0$

$D=1-4*3*(-10)=121=11^2$

$x_1=\frac{1-11}{6}=\frac{-10}{6}=-\frac{5}{3}$

$x_2=\frac{1+11}{6}=\frac{12}{6}=2$

$3x^{2} -x-10=3(x-2)(x+\frac{5}{3})=(x-2)(3x+5)$

и знаменатель:

$-x^{2}+7x-10=0$

$x_1=2;x_2=5$

$-x^{2} +7x-10=-(x-2)(x-5)=(x-2)(5-x)$

2) Теперь вычисляем предел:

$\lim_{x \to 2} \frac{3x^2-x-10}{7x-x^2-10}=\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(3x+5)}{(x-2)(5-x)}=\lim_{x \to 2} \frac{3x+5}{5-x}=\frac{3*2+5}{5-2}=\frac{11}{3}=3\frac{2}{3}$

Ответ:   $\lim_{x \to 2} \frac{3x^2-x-10}{7x-x^2-10}=3\frac{2}{3}$

в) $x_0= \infty}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2-x-10}{7x-x^2-10}=(\frac{\infty}{\infty})=\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2-x-10}{-x^2+7x-10}=$

$=\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x^2-x-10}{x^2} }{\frac{-x^2+7x-10}{x^2} }=\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x^2}{x^2}-\frac{x}{x^2}-\frac{10}{x^2}}{\frac{-x^2}{x^2}+\frac{7x}{x^2}-\frac{10}{x^2}}=\lim_{x \to \infty} \frac{3-\frac{1}{x}-\frac{10}{x^2}}{-1+\frac{7}{x}-\frac{10}{x^2}}=\frac{3-0-0}{-1+0-0}=$

$=\frac{3}{-1}=-3$

Ответ:   $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2-x-10}{-x^2+7x-10}}=-3$