Question

Решить дифференциальное уравнение, найти общее решение:

(x-y)*y-x^2*y'=0

Answer 1

$(x-y)y-x^2y'=0$

Разделим уравнение на $x^2$:

$\left(1-\dfrac{y}{x} \right)\dfrac{y}{x}-y'=0$

Замена:

$\dfrac{y}{x} =t\\\Rightarrow y=tx\\\Rightarrow y'=t'x+tx'=t'x+t$

Получим уравнение:

$(1-t)t-(t'x+t)=0$

$t-t^2-t'x-t=0$

$-t'x=t^2$

$-\dfrac{xdt}{dx} =t^2$

$-\dfrac{dt}{t^2} =\dfrac{dx}{x}$

$-\int \dfrac{dt}{t^2} =\int\dfrac{dx}{x}$

$\dfrac{1}{t} =\ln|x|+\ln C$

$\dfrac{1}{t} =\ln Cx$

$t=\dfrac{1}{\ln Cx}$

Обратная замена:

$\dfrac{y}{x} =\dfrac{1}{\ln Cx}$

$y=\dfrac{x}{\ln Cx}$

Ответ: $y=\dfrac{x}{\ln Cx}$