Question

Первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии относится к сумме второго и третьего членов как 9:10. Найдите первый член прогрессии, если её сумма равна 12.

Answer 1

Ответ:

b₁=4

Объяснение:

По условию

b₁:(b₂+b₃)=9:10

S=12.

Известно, что для бесконечно убывающей геометрической прогрессии (|q|<1):

$\displaystyle \tt b_n=b_1 \cdot q^{n-1};$

$\displaystyle \tt S=\frac{b_1 }{1-q} .$

Тогда$\displaystyle \tt \left \{ {{b_1:(b_1 \cdot q+b_1 \cdot q^2)=9:10} \atop {\dfrac{b_1}{1-q}=12 }} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{1:(q+q^2)=9:10} \atop {b_1=12 \cdot (1-q) }} \right. \Leftrightarrow \left \{ {9 \cdot q^2+9 \cdot q-10=0} \atop {b_1=12 \cdot (1-q) }} \right.$Сначала решаем уравнение 9·q²+9·q-10=0:

D=9²-4·9·(-10)=81+360=441=21²

q₁=(-9-21)/(2·9)= -30/18 = -15/9 - не подходит, так как |-15/9|>1;

q₂=(-9+21)/(2·9)= 12/18 = 2/3 - подходит, так как |2/3|<1.

Тогда

b₁=12·(1-2/3)=12·1/3=4.