Question

Решите на множестве R уравнения первой степени:
1)5x^4-2x^2-3=0
2) 6x^4-5x^2+1=0
3)3x^4-10x^2+3=0

Answer 1

Подобные уравнения решаются через замену переменной.

$1) 5x^4-2x^2-3=0\\\\x^2 = r\\\\5r^2 - 2r - 3 = 0\\\\D = 4 + (5\cdot 4\cdot 3) = 4 + 60 = 64\\\\\sqrt D = 8\\\\r_1 = \frac{2-8}{10} = \frac{-6}{10}=-\frac{3}{5}\\\\r_2 = \frac{2+8}{10} = \frac{10}{10} = 1$

Корень $r_1$ нам не подходит, так как относится к множеству комплексных чисел ($C$), а нас просят решить уравнение на множестве $R$ (множестве действительных чисел).

$x^2 = r_2\\\\x^2 = 1\\\\x_1 = 1\\\\x_2 = -1$

Ответ на Уравнение №1: $x_{1,2} = \pm1$.

$2) 6x^4-5x^2+1=0\\\\x^2 = m\\\\6m^2 - 5m + 1 = 0\\\\D = 25 - 24 = 1\\\\\sqrt D = 1\\\\m_1 = \frac{5-1}{12} = \frac{4}{12}= \frac{1}{3}\\\\m_2 = \frac{5+1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\\\\x^2 = m_1\\\\x^2 = \frac{1}{3}\\\\x_1 = \sqrt\frac{1}{3} = \frac{\sqrt3}{3}\\\\x_2 = - \sqrt\frac{1}{3} = -\frac{\sqrt3}{3}\\\\x^2 = m_2\\\\x^2 = \frac{1}{2}\\\\x_3 = \sqrt\frac{1}{2} = \frac{\sqrt2}{2}\\\\x_4 = - \sqrt\frac{1}{2} = -\frac{\sqrt2}{2}$

Ответ на Уравнение №2: $x_{1,2} = \pm\frac{\sqrt3}{3}$, $x_{3,4} = \pm \frac{\sqrt2}{2}$

$2) 3x^4-10x^2+3=0\\\\x^2 = n\\\\3n^2 - 10n + 3 = 0\\\\D = 100 -36 = 64\\\\\sqrt D = 8\\\\n_1 = \frac{10-8}{6} = \frac{2}{6}= \frac{1}{3}\\\\n_2 = \frac{10+8}{6} = \frac{18}{6} = 3\\\\x^2 = n_1\\\\x^2 = \frac{1}{3}\\\\x_1 = \sqrt\frac{1}{3} = \frac{\sqrt3}{3}\\\\x_2 = - \sqrt\frac{1}{3} = -\frac{\sqrt3}{3}\\\\x^2 = n_2\\\\x^2 = 3\\\\x_3 = \sqrt3\\\\x_4 = - \sqrt3$

Ответ на Уравнение №3: $x_{1,2} = \pm\frac{\sqrt3}{3}$, $x_{3,4} = \pm \sqrt3$

Удачи!