Question

Докажите, что для каждого натурального n≥3 найдется такое n-значное число A, что A и число $\overline{1A}$ - полные квадраты некоторых натуральных чисел.

Answer 1

a² - b² = (a-b)(a+b)

Пусть n = 2k:

A = b²

a = 125 * 10^(k-2)

b = 75 * 10^(k-2)

a² - b² = (125 - 75) * (125 + 75) * ((10^(k-2))^2) = 10^4 * 10^(2k-4) = 10^2k

b² = (75 * 10^(k-2))^2 = 5625 * 10^(2k - 4) = 562500...00 (2k - 4 нуля) - имеет 2k цифр. А число 10^2k имеет 2k+1 цифру, так что его прибавление к b² просто добавит единицу в начало. Осталось заметить, что для любого k ≥ 2 числа a и b натуральны.

Пусть n = 2k-1:

A = b²

a = 35 * 10^(k-2)

b = 15 * 10^(k-2)

a² - b² = (35 - 15) * (35 + 15) * ((10^(k-2))^2) = 1000 * 10^(2k-4) = 10^(2k-1)

b² = (15 * 10^(k-2))^2 = 225 * 10^(2k-4) - имеет 2k-1 цифру. Ну и для k ≥ 2 числа a и b натуральны.