Question

Существует ли треугольник с углами x, y, z такой, что tgx=cosy=sinz ?

Answer 1

Ответ:

да

Объяснение:

решение на фото

Answer 2

Т.к. x, y, z ∈ (0;π), то: sinx, siny, sinz > 0.

По теореме о сумме углов треугольника: z=π-(x+y).

sin z =sin (π-(x+y)) = sin (x+y) = sinx*cosy+cosx*siny = cosy (последнее равенство по условию).

Отсюда: tgy = (1-sinx)/cosx. Выражаем tgy через cosy, cosx через tgx:

$\tan y = \frac{ \sqrt{1-\cos^2 y}}{\cos y} = \sqrt{1+\tan^2 x} - \tan x$. Здесь учтено, что tgy>0, т.к. cosy, siny>0.

Используя равенство: tgx = cosy.

$\frac{\sqrt{1-\cos^2y}}{\cos y} = \sqrt{1+\cos^2 y} - \cos y$

Произведем замену: cosy = t>0:

$\frac{\sqrt{1-t^2}}{t} = \sqrt{1+t^2} - t$. (1)

Возведем в квадрат, домножив на t²:

$1-t^2 = t^2(1+t^2) + t^4 - 2t^3\sqrt{1+t^2}$.

Упростим:

$2t^3\sqrt{1+t^2} = 2t^2(t^2+1) - 1$.

Еще раз возведем в квадрат:

$4t^6(1+t^2) = 4t^4(t^2+1)^2 + 1 - 4t^2(t^2+1)$.

Упростим:

$4t^6 - 4t^2+1=0$.

Заменив $t^2 = \varphi >0$ получим кубическое уравнение относительно φ:

$\varphi^3 - \varphi + \frac{1}{4} = 0$.  (2)

График f(φ) на рисунке.

Для решения воспользуемся формулой Виета.

$Q=\frac{1}{3}$, $R=\frac{1}{8}$. Т.к. R²=0.016<Q³≈0.037, то существуют 3 действительных корня:

$\xi= \frac{1}{3}\arccos (\frac{R}{\sqrt{Q^3}}) \simeq \frac{1}{3} \arccos 0.66 \simeq 0.28$

$\varphi_1 = -2 \sqrt{Q} \cos \xi \simeq -2*0.58 *0.96 = -1.1$

$\varphi_2 = -2 \sqrt{Q} \cos (\xi+\frac{2\pi}{3}) \simeq -2*0.58 *(-0.72)= 0.84$

$\varphi_3 = -2 \sqrt{Q} \cos (\xi-\frac{2\pi}{3}) \simeq -2*0.58 *(-0.24)= 0.27$

Исходное уравнение (1) неэквивалентно уравнению (2) (не все решения (2) являются решениями (1)), т.к. в процессе преобразования мы возводили части уравнения в четную степень.

Поэтому полученные корни следует отсеять.

φ₁ не подходит, т.к. φ>0.

Подставим t²=φ₃ в (1). Равенство неверно. Значит φ₃ не корень (1).

Подставим t²=φ₂ в (1). Равенство верно. Значит φ₂ корень (1).

Отсюда: cos y = t = √(φ₂) ≈ 0.91.

Находим углы треугольника: y≈24°, x≈42°, z≈114°.