Question

Помогите срочно и пожалуйста вычислить интеграл!!!

Answer 1

$\int\limits^5_1 {\frac{xdx}{\sqrt{1+8x}} } \,= \frac{1}{8} \int\limits^5_1 {\frac{8xdx}{\sqrt{1+8x}} } \,= \frac{1}{8} \int\limits^5_1 {\frac{(1+8x-1)dx}{\sqrt{1+8x}} } \,= \frac{1}{8} \int\limits^5_1 {\frac{(1+8x)dx}{\sqrt{1+8x}} } \.- \frac{1}{8} \int\limits^5_1 {\frac{dx}{\sqrt{1+8x}} } \,=$

$= \frac{1}{8} \int\limits^5_1\sqrt{1+8x}dx\.- \frac{1}{8} \int\limits^5_1 {\frac{dx}{\sqrt{1+8x}} } \,= \frac{1}{64} \int\limits^5_1\sqrt{1+8x}d(1+8x)\.- \frac{1}{64} \int\limits^5_1 {\frac{d(1+8x)}{\sqrt{1+8x}} } \,=$

$=\frac{1}{64}(\frac{(1+8x)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}|^{5}_{1}-\frac{1}{64} }\cdot 2\sqrt{1+8x}|^{5}_{1}=$

$=\frac{2}{192}\cdot ((1+8\cdot 5)^{\frac{3}{2}}-(1+8\cdot1)^{\frac{3}{2}} )-\frac{1}{32}\cdot (\sqrt{1+8\cdot5}-\sqrt{ 1+8\cdot1})=\\\\=\frac{1}{96}(41\sqrt{41}-27})- \frac{1}{32}(\sqrt{41}-3)=\frac{38}{96}\sqrt{41}-\frac{18}{96}= \frac{19}{48}\sqrt{41}-\frac{3}{16}$

можно применить метод замены переменной:

$\sqrt{1+8x}=t$

$1+8x=t^2$

$x=\frac{t^2-1}{8} \\\\dx=\frac{tdt}{4}$

Пределы интегрирования

при x=1;  t=3

при х=5; t=√41

$\int\limits^{\sqrt{41}}_3 {\frac{\frac{t^2-1}{8} }{t} } \,\frac{tdt}{4} =\frac{1}{32} \int\limits^{\sqrt{41}}_3(t^2-1)dt=\frac{1}{32}(\frac{t^3}{3}-t)| ^{\sqrt{41}}_3=$

$=\frac{1}{32} (\frac{(\sqrt{41})^3-3^3}{3}-(\sqrt{41}-3))=\frac{19\sqrt{41}}{48}-\frac{3}{16}$