Question

1. Найти частное решение уравнения:
yʺ - 4yʹ + 7y = 0, удовлетворяющее заданным начальным
условиям: y(0)= -1; yʹ(o) = 1
2. Найти общее решение уравнения:
7yʺ + 4yʹ - 11y = 0, удовлетворяющее заданным начальным
условиям: y(0)= 1; yʹ(o) = -1
3. Найти общее решение уравнения:
yʺ + 11y = 0, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
y(1)= 0; yʹ(o) = 1

Answer 1

$1)y''-4y'+7y=0\\y =: Y(p)\\y' =: pY(p)+1\\y'' =: p^2Y(p)+pY(p)-1\\y''-4y'+7y =: p^2Y(p)+pY(p)-1 -4(pY(p)+1) + 7Y(p) = 0\\p^2Y(p)+pY(p)-1 -4(pY(p)+1) + 7Y(p) = 0\\p^2Y(p) + pY(p) - 1 -4pY(p)-4 + 7Y(p)=0\\Y(p)(p^2 + 4p) = 5\\Y(p) = \frac{5}{p(p+4)} = \frac{A}{p} + \frac{B}{p+4} = \frac{p(A+B) + 4A}{p(p+4)} => A = 1.25, B = -1.25 => Y(p) = \frac{5}{4}(\frac{1}{p} - \frac{1}{p+4}) => y = \frac{5}{4}(1-e^{-4x})$

Остальные аналогично