Question

Решить дифференциальное уравнение...

Answer 1

$x'+xcos(t)=\sin t\cos t\\ e^{sint}x'+e^{sint}cost*x=e^{sint}\sin t\cos t\\ \left[(e^{sint})'=\cos t*e^{sint} \right]\\ (e^{sint}*x)'_t=e^{sint}\sin t\cos t\\ e^{sint}*x=\int e^{sint}\sin t\cos tdt=\int e^{sint}\sin td(sint)=(*)\\ \int xe^xdx=\left[u=x=>du=dx,dv=e^xdx=>v=e^x \right]=xe^x-\int e^x dx=xe^x-e^x+C\\ (*)=(sint-1)e^{sint}+C\\ x=(sint-1)+\dfrac{C}{e^{sint}}$

$x=(sint-1)+\dfrac{C}{e^{sint}}, x(t_0)=x_0\\ C= e^{sint_0}x_0-e^{sint_0}(sint_0-1)\\ x=(sint-1)+\dfrac{e^{sint_0}x_0-e^{sint_0}(sint_0-1)}{e^{sint}}$

Значение С определено однозначно для каждого набора $(t_0;x_0)$, решение единственно.

_______________________________________________

Для любых начальных значений функция $x=(sint-1)+\dfrac{e^{sint_0}x_0-e^{sint_0}(sint_0-1)}{e^{sint}}$ определена на всей вещественной оси