Question

Найти частное решение (частный интеграл) дифференциального уравнения.
xy'+y=lnx-1; y(1)=0

Answer 1

$xy'+y=lnx-1\; ,\; \; y(1)=0\\\\y'+\frac{y}{x}=\frac{lnx-1}{x}\\\\y=uv\; ,\; \; y'=u'v =uv'\\\\u'v+u\cdot (v'+\frac{v}{x})=\frac{lnx-1}{x}\\\\a)\; \; v'=-\frac{v}{x}\; ,\; \; \int \frac{dv}{v}=-\int \frac{dx}{x}\; ,\; \; ln|v|=-ln|x|\; ,\; \; v=\frac{1}{x}\\\\b)\; \; u'\cdot \frac{1}{x}=\frac{lnx-1}{x}\; \; ,\; \; \int du=\int (lnx-1)\, dx\; ,\\\\\star \; \; \int lnx\, dx=\Big [\; u=lnx,\; du=\frac{dx}{x},\; dv=dx,\; v=x\; \Big]=uv-\int v\, du=\\\\=x\cdot lnx-\int dx=x\cdot lnx-x+C^*\; \; \star$

$u=(x\cdot lnx-x+C^*)-(x+C^{**})\\\\y=\frac{1}{x}\cdot (x\cdot lnx-2x+C)\\\\y=lnx-2+\frac{C}{x}$

$0=y(1)=ln1-2+\frac{C}{1}\; ,\; \; C-2=0\; \; \to \; \; C=2\\\\y=lnx-2+\frac{2}{x}$

Answer 2

Зачем я выделил в решении три цвета? Розовый, желтый и синий?

1. Розовый - это начальные условия. Т.е. Задача Коши здесь решается. И дается нач. условие, чтобы найти с.

2. Желтый, для решения линейного диф. уравнения первого порядка вводят переменные u и v, которые подлежат определению.

3. Синий.  При нахождении ∫㏑х dx опять вводим  u и v, интегрируя по частям, но это уже совсем другие u и v, нежели те, что вводятся для решения линейного диф. уравнения.

В этом надо Вам хорошенько разобраться, если хотите научиться решать такие задания. Удачи.