Question

Это просто какой-то капец... Решите и это, пожалуйста:
4tgx - 3ctgx + 11 = 0.
Дедлайн до завтрашнего утра......

Answer 1

Вот решение с помощью замены

Answer 2

$4\,\text{tg} \, x - 3 \, \text{ctg}\, x + 11 = 0$

Так как $\text{tg} \, x \cdot \text{ctg} \, x = 1$, то $\text{ctg} \, x = \dfrac{1}{\text{tg} \, x}$

$4\,\text{tg} \, x - \dfrac{3}{\text{tg} \, x} + 11 = 0$

Сделаем соответствующую замену: $\text{tg} \, x = t$

$4t - \dfrac{3}{t} + 11 = 0$

$\dfrac{4t^{2} + 11t - 3}{t} = 0$

$\displaystyle \left \{ {{4t^{2} + 11t - 3 = 0} \atop {t \neq 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }} \right.$

$4t^{2} + 11t - 3 = 0$

$D = 11^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169$

$t_{1} = \dfrac{-11 + 13}{8} = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$

$t_{2} = \dfrac{-11 - 13}{8} = -\dfrac{24}{8} = -3$

Обратная замена:

$1) \ \text{tg} \, x = \dfrac{1}{4}$

$x = \text{arctg} \, \dfrac{1}{4} + \pi n, \ n \in Z$

$2) \ \text{tg} \, x = -3$

$x = -\text{arctg} \, 3 + \pi k, \ k \in Z$

Ответ: $x = \text{arctg} \, \dfrac{1}{4} + \pi n; \ x = -\text{arctg} \, 3 + \pi k; \ n,k \in Z$