Question

найти интеграл (1+tgx)dx/(sin2x) (применить замену t=tgx и формулы sinx=(2t)/(1+t^2),cosx=(1-t^2)/(1+t^2),dx=dt/(1+t^2))​

Answer 1

$\int \dfrac{(1+tgx)\, dx}{sin2x}=\int \dfrac{1+tgx}{\frac{2tgx}{1+tg^2x}}\, dx=\Big [\; t=tgx,\; x=arctgt,\; dx=\dfrac{dt}{1+t^2}\; \Big]=\\\\\\=\int \dfrac{(1+t)(1+t^2)}{2t}\cdot \dfrac{dt}{1+t^2}=\int \dfrac{dt}{2t}+\int \dfrac{dt}{2}=\dfrac{1}{2}\, ln|t|+\dfrac{1}{2}\, t+C=\\\\\\=\dfrac{1}{2}\, ln|tgx|+\dfrac{1}{2}\, tgx+C$